Окружности и треугольники (стр. 16 )

Ре­ше­ние.

Обе точки и не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок не может ка­сать­ся внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ке.

Пусть обе точки и лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка (рис. 1).

Четырёхуголь­ник — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку так как угол — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен тогда

Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны:

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но,

Пусть точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны (рис. 2) Углы и равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку так как угол — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть тре­уголь­ни­ки и равны, по­это­му За­ме­тим, что и точка дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны

Если точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны то но ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю по­лу­ча­ем Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ:

32. C 4 № 000. Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 26 и 14,5, а его вы­со­та BD равна 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABDи BCD.

Ре­ше­ние.

Пусть точки O и P Ї цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD со­от­вет­ствен­но, R и r Ї ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки E и F Ї точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­каBD. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABD и BCD на­хо­дим:

Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OK на пря­мую FP (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние OP на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKP:

1 слу­чай (точка D лежит между точ­ка­ми A иС, см. рис. 1):

2 слу­чай (точка C лежит между точ­ка­ми A и D, см. рис. 2):

Ответ: или

33. C 4 № 000. Сто­ро­ны и тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 30 и 25, а его вы­со­та равна 24. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки и

Ре­ше­ние.

Пусть точки и Ї цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки и со­от­вет­ствен­но, и Ї ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки и Ї точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка