Окружности и треугольники (стр. 8 )

Ре­ше­ние.

Обе точки и не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки и лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку , так как угол — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен , тогда , , . Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны:

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим . Сле­до­ва­тель­но, .

Пусть точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны . Углы и равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку , так как угол — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть, тре­уголь­ни­ки и равны, по­это­му . За­ме­тим, что и точка дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны .

Если точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны , то , но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем . Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ: .

17. C 4 № 000. Точка — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков и

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­это­му вер­ши­на — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка Ана­ло­гич­но, точки и — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­но.

Воз­мож­ны два слу­чая: либо ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся всех трех дан­ных внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), либо одной из дан­ных — внут­рен­ним об­ра­зом, а двух дру­гих — внеш­ним (рис. 2).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. Про­дол­жим от­рез­ки и за точки и до пе­ре­се­че­ния с со­от­вет­ству­ю­щи­ми окруж­но­стя­ми в точ­ках Тогда — диа­мет­ры дан­ных окруж­но­стей. Окруж­ность про­хо­дя­щая через точки и ка­са­ет­ся внут­рен­ним об­ра­зом окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , так как рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей равно раз­но­сти их ра­ди­у­сов. Ана­ло­гич­но, окруж­ность ка­са­ет­ся осталь­ных двух окруж­но­стей.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Пусть — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са , ка­са­ю­щей­ся внут­рен­ним об­ра­зом опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка и внеш­ним об­ра­зом — опи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков и Пусть — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка на хорду Тогда — вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка по­это­му Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му