Окружности и треугольники (стр. 2 )

Ответ: 9 или 36.

4. C 4 № 000. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно На одной из них лежит точка а на дру­гой — точки и при­чем тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что либо либо (или ).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). Пусть — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка с ос­но­ва­ни­ем — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник Тогда — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства на­хо­дим, что

Вто­рой слу­чай. (рис. 2) Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай.

Тре­тий слу­чай со­сто­ит в том, что и эти сто­ро­ны об­ра­зу­ют ост­рый угол. Тогда вы­со­та будет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка и В этом слу­ча­ем ра­ди­ус будет равен

Ответ:

5. C 4 № 000. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен , а от­но­ше­ние бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к его ос­но­ва­нию равно .

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник , — ос­но­ва­ние, . За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии, — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник Пусть — её центр, а — точка ка­са­ния с ос­но­ва­ни­ем

Обо­зна­чим

Так как — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка , то сле­до­ва­тель­но,

Рис. 1

Пер­вый слу­чай. Пусть пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­ная ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет в точке , а в точке (рис. 1). Тогда ,

В тре­уголь­ни­ке имеем

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Рис. 2

Вто­рой слу­чай. Пусть пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­ная ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет в точке , а в точке (рис. 2). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем