Окружности и треугольники (стр. 9 )

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра или

Ответ: 14, 6.

18. C 4 № 000. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке . Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка , пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке , от­лич­ной от . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , если , , угол равен .

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая:

1) точка лежит между и (рис. 1);

2) точка лежит между и (рис. 2).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай.

по­это­му тре­уголь­ни­ки и равны. Зна­чит,

Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай.

по­это­му тре­уголь­ни­ки и равны. Зна­чит, Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Ответ:

За­ме­ча­ние: на самом деле при вни­ма­тель­ном рас­смот­ре­нии ока­зы­ва­ет­ся, что пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен, так как ока­зы­ва­ет­ся, что — самой длин­ной из сто­рон тре­уголь­ни­ка, а та­ко­го быть не может. Ошиб­ка была до­пу­ще­на со­ста­ви­те­ля­ми за­да­чи. При про­вер­ке, пол­ный балл вы­став­лял­ся, либо в слу­чае, когда были разо­бра­ны оба слу­чая и верно по­лу­че­ны оба от­ве­та, либо в слу­чае, когда была объ­яс­не­на не­воз­мож­ность пер­во­го слу­чая и дан толь­ко один ответ.

19. C 4 № 000. Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 115, 115 и 184. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник , в ко­то­ром , Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Тогда — се­ре­ди­на

Обо­зна­чим Тогда

Пред­по­ло­жим, что окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния в точке а окруж­ность того же ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния в точке а пер­вой окруж­но­сти — в точке Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му

а

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тогда

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му зна­чит, по­сколь­ку — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим

Пусть те­перь окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны в точке вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол , ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны в точке а также ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.