При Дx→0 в силу непрерывности функции приращение Ду тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МM1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол ц→б, т. е. 
Следовательно
.
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
(1.2)
Пределы (1.1) и (1.2) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.
Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
Производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произведенная из данной функции.
Функция у=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции у = f(x) в точке х = х0 обозначается одним из символов: f'(x0), или у'(х0).
Обобщая, можно сказать, что если функция у=f(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной 
Это равенство перепишем в виде 
, т. е. производная f’(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.
1.3 Правила дифференцирования.
Пусть функции u=u(x) и v=v(x) две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.
Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: 
Производная частного двух функций 
, если 
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: 
1.4 Производная сложной функции.
Пусть y=f(u) и u=ц(x), тогда y=f(ц(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Если функция u=ц(x) имеет производную ux’ в точке x, а функция y=f(u) имеет производную yu’ в соответствующей точке u=ц(x), то сложная функция y=f(ц(x)) имеет производную yx’ в точке x, которая находится по формуле 
1.5 Таблица производных.
, с-const; (1.3) 
; (1.4) 
; (1.5) 
; (1.6) 
; (1.7) 
; (1.8) 
; (1.9) 
; (1.10) 
; (1.11) 
; (1.12) 
. (1.13) Вопросы для самоподготовки
1. Что такое приращение функции? Приращение аргумента?
2. Дайте определение производной функции.
3. Что такое дифференцирование?
4. Какие формулы из таблицы производных используются чаще всего?
5. Как находится угловой коэффициент касательной к графику функции?
Задания для самостоятельной работы
Найдите производные следующих функций:
1. 
;
Используя правило (1), вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (1.4);
.
2. 
;
Сначала представим корень четвертой степени в виде степенной функции, а затем, используя правило (2) и формулу (1.4) найдем производную;
.
3. 
; вычислить 
Имеем 
. Следовательно,
.
Для вычисления 
нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 8:
4. 
Используя правила (3), (2), (1), а также формулы (1.3) и (1.4), находим
5. 
; вычислить 
Полагая 
, получим 
. По формуле (1.5) находим
.
Для вычисления 
нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 1:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
