4.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

С помощью точек  x0=a, x1, x2,…xn=b (x0<x1 <x2<xn) разобьем на n частичных отрезков

В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: .

Составим сумму всех таких произведений:

                       (4.1)

Сумма вида (4.1) называется интегральной суммой функции на отрезке .

Обозначим через л длину наибольшего частичного отрезка: .

Найдем предел интегральной суммы (4.1), когда так, что .

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции на отрезке .

                                                         (4.2)

4.2 Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная  сверху графиком функции , снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Требуется найти её площадь.

Для этого отрезок точками x0=a, x1, x2,…xn=b (x0<x1 <x2<xn) разобьем на n частичных отрезков . В каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку сi и вычислим значение функции в ней, т. е. .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Умножим значение функции на длину , соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин , точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sст, когда n неограниченно возрастает так, что:

                                                       (4.3)

Итак, определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

4.3 Свойства определенного интеграла.

Если верхний и нижний пределы интегрирования равны, то интеграл равен нулю:

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Если функция интегрируема на отрезке и a<c<b,  то

«Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что:

Оценка интеграла. Если m и  M– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции   на отрезке , то

Неравенство между непрерывными функциями на отрезке можно интегрировать. Так, если при , то

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

4.4 Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке от непрерывной функции равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

Здесь a и  b – соответственно нижний и верхний предел интегрирования.

Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, но это разные понятия по смыслу: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается методами интегрирования.

Пример 1.

Вычислите 

Решение

4.5 Интегрирование методом замены переменной.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна дифференцируема на отрезке , причем и , то справедлива формула

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8