Тема «Основы дифференциального и интегрального исчисления» специальности 310201 «Лечебное дело», 340201 «Сестринское дело» (стр. 6 )

6;                                                                (3.7)

7 ;                                                                (3.8)

8 ;                                                                (3.9)

9 ;                                                                (3.10)

10 ;                                                                (3.11)

11 .                                                                (3.12)

3.4 Метод непосредственного интегрирования.

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»);

Пример 1.

Пример 2.

3.5 Интегрирование методом замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует.

Допустим требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где - функция имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основе свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой.

Данная формула называется формулой интегрирования методом замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого выражения следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда

Вопросы для самоподготовки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется подынтегральной?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные методы интегрирования.

5. Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)?

Задания для самостоятельной работы

Найдите следующие интегралы.

1.

Используя свойство (5) раскроем скобки.

Согласно свойству (4) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

По формулам (3.2) и (3.3), полагая, что n=4, найдем интеграл.

где С=С1+С2.

2. 

Решение:

3.

Решение

4.

Данный интеграл находится методом замены переменной.

5. 

Решение

6.

Решение

7.

Решение

8. Найдите следующие интегралы.

Вариант 1. а); б) ; в).	Вариант 2. а); б) ; в) .
Вариант 3. а); б) ; в) .	Вариант 4. а); б) ; в) .
Вариант 5. а); б) ; в) .	Вариант 6. а); б) ; в) .
Вариант 7. а); б) ; в) .	Вариант 8. а); б) ; в) .
Вариант 9. а); б) ; в) .	Вариант 10. а); б) ; в) .
Вариант 11. а); б); в) .	Вариант 12. а); б) ; в) .
Вариант 13. а); б); в).	Вариант 14. а); б) ; в) .
Вариант 15. а); б) ; в) .	Вариант 16. а); б) ; в) .
Вариант 17. а); б) ; в) .	Вариант 18. а); б) ; в) .
Вариант 19. а); б) ; в) .	Вариант 20. а); б) ; в) .
Вариант 21. а); б) ; в) .	Вариант 22. а); б) ; в) .
Вариант 23. а); б) ; в) .	Вариант 24. а); б) ; в) .
Вариант 25. а); б) ; в) .	Вариант 26. а); б) ; в).
Вариант 27. а); б) ; в) .	Вариант 28. а); б) ; в) .
Вариант 29. а); б) ; в) .	Вариант 30. а); б) ; в) .
Вариант 31. а); б) ; в) .	Вариант 32. а); б) ; в) .
Вариант 33. а); б) ; в) .	Вариант 34. а); б) ; в) .
Вариант 35. а); б) ; в) .	Вариант 36. а); б) ; в) .
Вариант 37. а); б) ; в) .	Вариант 38. а); б) ; в) .
Вариант 39. а); б) ; в) .	Вариант 40. а); б) ; в) .

4. Определенный интеграл.