Тема «Основы дифференциального и интегрального исчисления» специальности 310201 «Лечебное дело», 340201 «Сестринское дело» (стр. 4 )

2.1 Понятие дифференциала функции.

Если функция f(x) имеет в точке х0 производную f(xQ), то произведение f(xQ) и Дх называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается df(x0).

Таким образом, .

Для функции f(x), имеющей производную в каждой точке интервала (a, b), можно записать

                                                                       (2.1)

где Дx — произвольное приращение аргумента.

Так как , определим дифференциал независимой переменной как ее приращение, тогда диф­ференциал функции f(x):

.

дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Значит, , т. е. обозначение для производной от функции f(x) можно понимать как дробь, в числителе которой стоит дифференциал функции f(x), а в знаменателе — дифференциал аргумента.

Пример 1.

Найти дифференциал функции

Решение:

2.2 Геометрический смысл дифференциала функции.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у = f(x) в точке М(х;у) ка­сательную MТ и рассмотрим ордина­ту этой касательной дня точки  х+Дx. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

,  т. е. 

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . По – этому  .

Сравнивая полученный результат с формулой (2.1), получаем dy = AВ, т. е. дифференциал функции у = f(x) в точке х ра­вен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Дх.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Для диф­ференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) справедливы равенства:

; ;

Дифференциал сложной функции равен произведе­нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у = f(и) и и = ц(х) две дифференцируемые функции, образу­ющие сложную функцию у=f(ц(x)). По теореме о производной слож­ной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем . Но и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

2.3 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение Ду функции у = f(х) в точке х можно представить в виде , где б → 0 при Дх → 0, или . Отбрасывая бесконечно малую а·Дх более высокого порядка, чем Дх, получаем приближенное равенство

                                                                                       (2.2)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Ах.

Это равенство позволяет с большой точностью вычи­слить приближенно приращение любой дифференцируе­мой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­щение функции, поэтому формула (2.2) широко применяется в вычи­слительной практике.

Подставляя в равенство (2.2) значения Ду и dy, получим

или

                                                       (2.3)

Формула (2.3) используется для вычисления приближенных зна­чений функций.

Применяя формулу (2.3), легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Ниже рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.

Формула для приближенного вычисления степеней:

                                                               (2.4)

Формула для приближенного вычисления корней:

                                                               (2.5)

Вопросы для самоподготовки

1. Что такое дифференциал функции?

2. Перечислите основные правила вычисления дифференциалов?

3. Как определяется приближенное значение приращения функции, вычисленное с помощью дифференциала в точке.

4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

5. Где используется понятие дифференциала?

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите дифференциал функции

Решение:

2. Найдите приближенное значение приращения функ­ции

при х = 2 и Дх = 0,001.

Решение: Применяем формулу (2.3): 

Ответ

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Дy:

Абсолютная погрешность приближения равна

.

3. Вычислите

Решение

Полагая х=4 и Дх=0,002 и применяя формулу (2.5) получим

5.  Вычислите дифференциал функции

Вариант 1. .	Вариант 2. .
Вариант 3. .	Вариант 4. .
Вариант 5. .	Вариант 6. .
Вариант 7. .	Вариант 8. .
Вариант 9. .	Вариант 10. .
Вариант 11. .	Вариант 12. .
Вариант 13. .	Вариант 14. .
Вариант 15. .	Вариант 16. .
Вариант 17. .	Вариант 18. .
Вариант 19. .	Вариант 20. .
Вариант 21. .	Вариант 22. .
Вариант 23. .	Вариант 24. .
Вариант 25. .	Вариант 26. .
Вариант 27. .	Вариант 28. .
Вариант 29. .	Вариант 30. .
Вариант 31. .	Вариант 32. .
Вариант 33. .	Вариант 34. .
Вариант 35. .	Вариант 36. .
Вариант 37. .	Вариант 38. .
Вариант 39. .	Вариант 40. .

6.  Вычислите приближенное значение выражения с помощью дифференциала