Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 10 )

       Выражение, стоящее в провой части, аналогично входящему, но относится к общему случаю. Оно также называется статистической суммой.

       Свободная энергия согласно (7.12) выражается через статистическую сумму:

,

где Е – истинная, а не средняя энергия.

       Как уже говорилось, термодинамические величины в статистической физике рассматриваются как среднее по статистическому распределению. Нахождение средних значений с использованием канонического распределения Гиббса мы уже рассматривали. Однако нет необходимости при нахождении очередной физической величины все время обращаться к распределению Гиббса. Мы уже видели, что эти величины можно представить как производные от термодинамических функций. В свою очередь, термодинамические функции связаны между собой. Поэтому достаточно из распределения Гиббса найти одну – две термодинамические функции, а дальнейшие вычисления проводить методами термодинамики. Итак, получим выражение для некоторых термодинамических функций.

       Прежде всего, найдем производную по температуре от логарифма статистической суммы:

.

Но средняя энергия всей системы это и есть ее внутренняя энергия. В результате получаем:

.

Найдем следующую термодинамическую функцию – энтропию. Согласно имеем:

.

Вычислим приближенное значение статистического веса . Вспомним, что распределение по энергии представляет собой острый пик. Следовательно, в статистической сумме член, отвечающий максимальному значению распределения при , намного превосходит остальные слагаемые. Пренебрегая последними, можем написать:

  или  .

Подставив это значение в выражение для энтропии, получим:

.

Далее, зная энтропию, можно найти свободную энергию:

.

Таким образом, константа, входящая в распределение по квантовым состоянием, просто выражается через свободную энергию:

.

Соответственно, само распределение запишется в виде:

.

       Далее, если состояние системы зависит от каких-либо внешних параметров, то можно найти обобщенную силу, соответствующую этим параметрам. Воспользовавшись равенством, получим:

.

       Теперь покажем, как можно получить основное термодинамическое равенство, основываясь на статистическом методе (ранее мы его просто постулировали, опираясь на закон сохранения энергии). Продифференцируем выражение для энтропии и используем равенства:

.

Таким образом, мы пришли к требуемому результату:

.

Выводы, полученные выше, основывались на квантовой статистике. Соответствующие классические выражения получатся заменой статистического веса на безразмерный фазовый объем , а статистической суммы – на статистический интеграл.

Таким образом, для расчета термодинамической системы нам достаточно знать статистическую сумму (интеграл). К сожалению, получить значение этой величины удается только в самых простейших случаях.

Тема: Основные применения распределения Гиббса.

Рассматриваемая задача эквивалентна задаче о нахождении вероятности того, что скорость отдельно взятой молекулы будет лежать в указанных пределах. Согласно закону распределения Гиббса, эта вероятность равна

       (1.1.1)

Исходя из условий задачи, ограничимся рассмотрением поступательных движений, в соответствии с чем произведем разбиение на ячейки лишь в импульсной части фазового пространства. Выделять пространственные координаты, а также координаты и импульсы, связанные с вращательными движениями и внутримолекулярными колебаниями, нет необходимости.

Энергия молекулы равна

                 (1.1.2)

Отсюда имеем

          (1.1.3)

где

    (1.1.4)

Объем, связанный с пространственными координатами, выпадает.

       При вычислении интеграла, стоящего в знаменателе, вместо тройного интеграла можно написать произведение трех однократных интегралов:

                                                                                                       (1.1.5)

Посредством преобразований

  ,  ,    (1.1.6)

получаем из (1.1.5)

  .  (1.1.7)

Учитывая формулу

  ,  (1.1.8)

находим из (1.1.7)

  .  (1.1.9)

Таким образом, вероятность обнаружить отдельную частицу в элементе объема импульсного пространства

   

согласно (1.1.3) равна

    (1.1.10)

(распределение Максвелла)

       Рассмотрим теперь макроскопическую систему, состоящую из частиц.

Для такой системы число частиц, компоненты скоростей которых заключены в интервалах

   

в соответствии  с (1.1.10) определяется выражением

    (1.1.11)

Будем исходить из закона распределения Максвелла

    (1.3.1)

Разобьем пространство скоростей на сферические слои. Объем сферического слоя, имеющего радиуса и толщину , равен

    (1.3.2)

Отсюда находим элемент объема в импульсном пространстве

    (1.3.3)

Подставляя (1.3.3) в (1.3.1), получаем распределение скоростей Максвелла

Оно описывает распределение абсолютной величины скорости