Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 13 )

    (23.2а)

Соответственно, распределение по отдельным квантовым состоянием будет выглядеть как:

  ;  .  (23,2б)

Аналогичное выражение для классической статистики имеет вид:

.

Связь большой статистической суммы с термодинамическими функциями получаем аналогично предыдущему случаю:

.

Отсюда выразим внутреннюю энергию:

  .  (23.3)

Как и прежде, оставим в статистической сумме только главный член:

;  .

Найдем приближенное значение энтропии:

  .  (23.4)

Теперь, можем получить свободную энергию:

  .  (23.5)

В данном случае, помимо прежних функций, мы можем выразить через статистическую сумму большой термодинамический потенциал Гиббса (18.1):

  .  (23.6)

Этот потенциал выполняет туже роль, что и свободная энергия при постоянном числе частиц. Через него выражается нормировочная константа большого канонического распределения:

  ;  .  (23.7)

       В заключение получим еще одно полезное соотношение:

.

Выразив отсюда и воспльзовавшись равенством (23.6), найдем:

  .  (23.8)

       Итак, при расчете различных систем мы можем пользоваться микроканоническими распределениями, каноническим распределением или большим каноническим распределением. Для равновесных состояний можно использовать  любое из них. Выбор определяется удобством решения задачи. Как правило, наиболее удобным является каноническое распределение, а наименее удобным – микроканоническое. Большое каноническое распределение используется при рассмотрении некоторых процессов, связанных с изменением числа частиц (процесс диффузии, химические реакции, некоторые фазовые превращения и т. д.). 

Тема: Применение распределения Гиббса для идеального газа. Реальные газы.

Под идеальным газом подразумевается газ, молекулы  которого  не взаимодействуют друг с другом. Реальным приближением к такой модели может служить разреженный газ, в котором среднее расстояние между молекулами велико и, следовательно, сила взаимодействия между ними мала. В этом случае каждую молекулу можно рассматривать, как квазинезависимую подсистему, и применить распределение Гиббса непосредственно к каждой молекуле.

На пути исследования даже такой идеализированной системы встает еще одна трудность. Она связана с особыми свойствами квантовомеханических систем, состоящих из тождественных частиц. Для таких систем, даже при полном отсутствии физического взаимодействия  между частицами, существует все же влияние одних частиц на другие. Это влияние связано с так называемыми обменными эффектами. Для частиц, которые принято назвать фермионами, они приводят к тому, что в одном квантовом состоянии может находиться только один фермион данного сорта. К этому вопросу мы вернемся позже. А сейчас, чтобы избавиться от влияния таких эффектов, будем рассматривать случай, когда среднее число частиц, находящихся в каком – либо квантовом состоянии, намного меньше единицы: . Заметим, что физически такая  ситуация реализуется опять - таки в случае разреженных газов, когда удельный объем (объем приходящийся на одну частицу) имеет большое значение. Числа, указывающие, сколько частиц находится в каждом квантовом состоянии, называются числами заполнения. Условие означает, что числа заполнения в подавляющем большинстве случаев равны либо нулю, либо единице.

Перейдем к получению искомого распределения. Заметим, что знание чисел заполнения позволяет полностью охарактеризовать квантовомеханическую систему. Набор этих чисел задает вектор состояния в представлении чисел заполнения. Естественно, для системы, состоящей из огромного числа частиц, нельзя задать все числа заполнения. Для таких систем мы можем, пользуясь методами статистической физики, определить вероятность того или иного значения для каждого числа заполнения. Другими словами, задать средние значения этих чисел, т. е. указать распределение для чисел заполнения. В нашем приближении для идеального газа такое распределение называется распределением Больцмана. Среднее число молекул, находящихся в - том состоянии, пропорционально вероятности обнаружить отдельную молекулу в этом состоянии, а последняя задается распределением Гиббса. Т. е. распределение Больцмана можно записать в виде:

  .  (25.1)

В данном случае, когда мы в качестве подсистемы рассматриваем отдельную молекулу, под следует понимать энергию одной молекулы, а не всей системы в целом. Коэффициенты пропорциональности находим из условия нормировки:

,

где - полное число молекул газа. Подставив сюда значение из (25.1), получим: 

  ;  .  (25.2)

Данный коэффициент можно выразить через термодинамические величины. Для этого давайте получим распределение Больцмана, опираясь на стандартные методы статистической физики, т. е. применив распределение Гиббса ко всей системе в целом. Будем пользоваться большим распределением Гиббса. Поскольку взаимодействием между молекулами мы пренебрегли, то энергию квантового состояния всей системы можно представить как сумму энергии отдельных частиц:

.

Здесь характеризует набор чисел заполнения. Подставив это выражение в большое каноническое распределение (23.7), получим:

.

Большой потенциал Гиббса, как и все термодинамические функции, является величиной аддитивной: . Следовательно, наше распределение можно представить в виде произведения по каждому квантовому одночастичному состоянию:

, где

    (25.3)

есть вероятность того, что в одночастичном состоянии находится частиц. Следовательно, вероятность того, что в этом состоянии нет ни одной частицы, равна:

.

Согласно условию , эта вероятность близка к единице. То есть

.

Соответственно, вероятность того, что в одночастичном состоянии находится одна частица, в первом приближении равна:

.

Наконец, вероятность того, что в этом  состоянии находятся две или более частиц, с точностью до малых величин первого порядка равна нулю:

.

Таким образом, для распределения Больцмана имеем:

  .  (25.4)

Т. е. наш коэффициент нормировки выражается через химический потенциал следующим образом:

  .  (25.5)

       Если можно считать, что движение молекул газа подчиняется законам классической физики, то распределение Больцмана будет характеризоваться плотностью числа частиц в фазовом объеме: