Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 24 )

где qz - плотность мощности источников.

Таким образом, мы приходим к следующему уравнению

Здесь - объемная плотность величины . Поверхностный интеграл в правой части можно заменить на объемный по теореме Гаусса: Переходя к пределу при и сокращая на dV, по­лучим

  .         (57.3а)

Это уравнение носит название уравнения баланса физической величины .

В отсутствие источников мы приходим к стандартному уравнению непрерывности

  ,  (57.3б)

отражающему закон сохранения величины .

Наконец, подставив сюда значение плотности потока из выражения (57.2), приходим к уравнению

          (57.4a)

В случае если коэффициент L можно считать постоянной величиной, то, учитывая, что, получим

          (57.46)

Само по себе это уравнение не позволяет найти, как будут меняться па­раметры системы в пространстве и времени. Для окончательного решения задачи необходимо знать связь между интенсивным параметром и адди­тивной величиной . Эта связь определяется термодинамическими или статистическими методами. Правда, здесь следует быть осторожными. Положения статистической физики справедливы лишь для равновесных состояний. Только если состояние близко к равновесному, мы можем по­ложиться на принцип локального равновесия. Значение коэффициента L берется либо из опытных данных, либо в простейших случаях может быть рассчитано микроскопическими методами.

Рассмотрим простой пример - явление теплопередачи. Роль интенсив­ного параметра играет температура, роль аддитивной величины - количе­ство теплоты. Уравнение (57.4б) будет выглядеть как

.

Связь между величинами и Т  дается через удельную теплоемкость с:

,

где - масса, а - объемная плотность вещества. При небольшом изменении температуры теплоемкость и плотность вещества можно считать постоянными величинами. В результате мы приходим к уравнению

,

где . Это простейшее уравнение параболического типа. Методы его решения подробно рассматриваются в теории уравнений математической физики.

       Аналогичное уравнение может быть получено для процесса диффузии через пористое вещество

,

где . Здесь - концентрация, а - коэффициент пористости.

Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры являются некоторой идеализацией реальных процессов, протекающих в неравновесной системе. Их описание основывается на ряде допущений, которые могут быть далеки от истинного положения вещей. Во многих случаях ситуация оказывается более сложной. Одной из причин этого является то обстоятельство, что ос­новной процесс переноса может сопровождаться рядом других сопутст­вующих процессов. Например, разность температур в неоднородном про­воднике может вызвать не только поток тепла, но и появление ЭДС, что в свою очередь приводит к потоку заряда. Простейшим примером подобного рода является термопара. Существует и обратное явление - наличие разно­сти потенциалов в таком проводнике приводит к возникновению теплового потока. Аналогично наличие градиента температуры в многокомпонентной среде приводит к появлению градиента концентрации. И, наоборот, сме­шивание разных компонент в процессе диффузии сопровождается появле­нием градиента температуры. Подобные процессы называются перекрест­ными. Примером другого рода может служить протекание тока в анизо­тропном проводнике. В этом случае направление тока не совпадает с на­правлением градиента потенциала. Здесь проводимость характеризуется не скалярной, а тензорной величиной , а дифференциальная форма закона Ома записывается как .

Таким образом, вклад в поток дает не только основной процесс, но и сопутствующий. Равенство (57.2) следует переписать в виде

  .  (58.1)

Здесь - и - проекции плотности потока и градиента соответственно.

В результате нам требуется знание не одного кинетического коэффициента, а целой их совокупности, которую можно представить в виде матри­цы. Нахождение значений этих коэффициентов облегчается использовани­ем принципа Онсагера, который утверждает, что матрица кинетических коэффициентов должна быть симметричной

          (58.2)

Вообще-то этот принцип следует рассматривать как постулат. Однако он имеет убедительное обоснование.

В основу своего принципа Онсагер положил гипотезу, согласно которой изменение параметров неравновесного состояния со временем происходит независимо от того, как это состояние образовалось, в результате воздействия внешнего возмущения, либо в результате флуктуации. Таким образом, мы можем воспользоваться результатами, полученными в теории флуктуации.

Пусть система описывается рядом независимых параметров Обозначим через отклонение i - того параметра от его равновесно­го значения. Энтропия является функцией параметров . В равновесном состоянии она достигает максимума. Следовательно . Если значение этой производной отлично от нуля, то в системе будут возникать потоки. Таким образом, неравенство нулю производной можно считать причиной возникновения потока. Будем называть эту производную термодинамической силой . Сам поток будем характеризовать производной по времени от i - того параметра . Величины и зависят от значения параметров. Разложим эту зависимость в ряд Тейлора. При малых отклонениях от состояния равновесия можно ограничиться линей­ными членами разложения. Поскольку в равновесном состоянии, как функции, так и аргументы равны нулю, то разложение будет иметь вид:

        .  (58.3)

  .          (58.4)

Выразим из равенства (58.4) величины

.

Подставив их в выражение (58.3), мы приходим к равенству (58.1)

.

Найдем изменение параметра за небольшой промежуток времени

.

Далее поступаем так, как мы это делали при рассмотрении флуктуации термодинамических величин. Выразим вероятность того или иного состояния через энтропию согласно равенству (7.2)

  ,  (58.5а)