Учебно-методический комплекс дисциплины «Статистическая физика и основы физической кинетики» для специальности 5В011000 - «Физика» (стр. 28 )

Решение

Определим по статистике Бозе – Эйнштейна число заполнения состояний с импульсом в интервале от до .

Энергия и импульс материальной частицы связаны с частотой соответствующей дебройлевской волны соотношениями де Бройля:

  ,    (1.1.1)

Значениями импульса в интервале от до соответствует в импульсном пространстве шаровой слой объемом . Мы пользуемся представлением о пространстве, т. е. о фазовом пространстве, положение точки в котором определяется тремя пространственными и тремя импульсными координатами и размерность которого, следовательно, равна шести. Если ввести сферические координаты и разбить импульсное пространство на шаровые слои объемом , то, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, число ячеек внутри одного шарового слоя оказывается равным [см. формулу (3.1) гл. 2]

    (1.1.2)

Здесь V — объем, в котором находится рассматриваемый фотонный газ. Выведенная формула справедлива для линейно поляризованного света, равно как и для бозонов с нулевым спином. Если же свет обладает произвольной эллиптической поляризацией или неполяризован, так что колебания электрического вектора могут быть разложены на две (g=2) взаимно перпендикулярные компоненты, или же если частицы (например, -частицы) обладают спином, проекция которого на направление внешнего поля может принимать различных значений, то число возможных квантовых состояний в фазовом объеме  увеличится в раз. Поэтому можно написать

    (1.1.3)

При увеличении числа ячеек в раз объем одной ячейки уменьшается и становится равным . В данном случае s = 6, = 2.

Тогда в качестве общей формулы для чисел заполнения в статистике  Бозе - Эйнштейна получаем из (1.1.19) распределение Бозе - Эйнштейна:

    (1.1.24)

Множитель Лагранжа определяется из выражения (1.1.24) с помощью дополнительного условия (1.1.8) или (1.1.8а).

Чтобы найти распределение фотонов в полости объемом , нужно учесть, что для квантов света закон сохранения числа частиц не выполняется. Харак­тер излучения полностью определяется температурой; Поэтому дополнительное условие (1.1.8а) для квантов света неприменимо. Формально можно это учесть, положив в (1.1.8а) множитель Лагранжа а равным нулю. Тогда имеем для фотонов

    (1.1.25)

Используя для фотонов соотношение де Бройля и считая , находим число фотонов в интервале частот от до

  .  (1.1.26)

Это выражение содержит формулу излучения Планка, которая будет подроб­нее рассмотрена в §2 настоящей главы. Подставляя численные значения, находим для неполяризованного света

.

Энергия излучения, приходящаяся на эти  фотоны, определяется  выражением

При заданных численных значениях имеем        

Дж.

Задача 2. Исследовать распределение свободных электронов по энергиям. Вывести функцию распределения. Определить множитель Лагранжа . Чему равно число свободных электронов с энергией между 6,90 и 6,95 эВ в медном стержне длиной =1 м и сечением см 2 при Т = 300 К?

Решение

Числа заполнения Ni или dN можно получить из выражения (1 2.10), если подставить в него число квантовых состояний (1.2.1). Учитывая (1.2.12), имеем

  .  (1.2.24)

Экспоненциальный член практически не дает вклада, если

,

или же        

       .

Для меди при данной температуре Т = 300 К  и при найденном значении мно­жителя = -271 это означает, что для 300 Дж= =6,88 эВ заполнение описывается распределением

.

Если величина е выражена в электронвольтах, то имеем

.

Напротив, для энергий при данной тем­пературе можно пренебречь единицей в знаменателе формулы (1.2.24). Тогда функция распределения определяется главным образом экспоненциальным членом:

,

как это следует из классической статистики Больцмана (см. задачу 1.3); В области энергий от 6,88 до 7,14 эВ в выражении (1.2.24) нужно учитывать оба слагаемых. Подставляя заданные численные значения, для энергий = 6,90 эВ, =0,05эB получаем

.

Полное число свободных электронов в 1 м3 меди, согласно формуле (1.2.22), составляет

м-3.

Таким образом в объеме м3 рассматриваемого медного стержня содержится электронов.

Из всех свободного движущихся электронов только около 1% обладает кинетической энергией в заданном интервале.

Задачи для самостоятельного решения

Исходя из функции распределения по энергиям, получить распределение по скоростям для нерелятивистских фермионов с половинным спином. Изобразить график этой функции при абсолютном нуле температуры. Найти число столкновений электронов со стенкой в нерелятивистском электронном газе при абсолютном нуле температуры.

Тема: Элементы физической кинетики.

Цель занятия: вычислить коэффициенты переноса для различных физических явлений, рассмотреть примеры решения уравнения Больцмана, диффузию и термодиффузию.

Примеры решения задач

Задача 1. При рассмотрении термоэлектрических явлений в металлах и полупроводниках удобно выбрать в качестве термодинамических потоков плотности электрического тока и потока тепла (где - плотность потока энергии, - электрохимический потенциал носителей зарядов). Найти силы, сопряженные потокам, при которых выполняется принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера.