Конспект лекций по курсу «Электронные цепи СВЧ» (стр. 3 )

       Рис.1.4 Дифференциальный отрезок длинной линии

Решение уравнений длинных линий

       для решения однородных волновых уравнений (1.2) составим их характеристическое уравнение и определим его корни.

       

       Тогда решение уравнений для напряжения и тока можно записать в виде:

                               (1.3)

       Для определения постоянных интегрирования зададимся граничными условиями. Воспользуемся значениями напряжения и тока в нагрузке и на входе линии . Чтобы не определять четырех постоянных интегрирования, решение для тока выразим через найденное решение для напряжения.

       Для этого определим из (1.3) производную и подставим ее в первое телеграфное уравнение системы (1.1). Получим уравнение:

       

       Откуда:

       

       Так как , то

       В общем случае волновое сопротивление линии является комплексной величиной . Выражение для тока в линии запишется:

                                               (1.4)

       Найдем постоянные интегрирования и в начале линии (). Тогда при из первого уравнения (1.3) и уравнений (1.4) получим:

       

откуда, выразив константы интегрирования, можно записать:

       ,                .

       Следовательно:

                       (1.5)

       Обозначая индексами "+" и "-" соответственно падающие и отраженные волны напряжения и тока, можно записать выражения для них в следующей форме:

       

       ,        ,

       ,                        (1.5)

       Отсюда выражения для волн напряжения и тока в произвольной точке линии запишутся:

                                               (1.6)

       Используя соотношения для гиперболических функций:

       ,                

систему (1.5) можно переписать в следующем виде:

       

       Приняв начало отсчета от нагрузки, значения напряжения и тока в конце линии, можно получить в виде:

       

       Если из этих уравнений выразить ток и напряжение на входе через ток и напряжение на выходе, то можно получить уравнения отрезка линии передачи, представив его как четырехполюсник в системе -параметров, когда независимыми переменными являются ток и напряжение в нагрузке:

                                               (1.7)

       Матрица передачи отрезка линии запишется:

                               (1.8)

       При матрица (1.8) превращается в матрицу непосредственного соединения (единичную матрицу):

               ,

где коэффициенты матрицы являются коэффициентами в следующей системе уравнений:

       .

       Таким образом критерием отсутствия распределенных эффектов является неравенство . При выполнении этого условия гиперболические косинусы в (1.8) принимают единичные, а гиперболические синусы – нулевые значения.

       Коэффициент фазы в однородной линии без потерь связан с фазовой скоростью (скоростью перемещения фронта волны) следующим соотношением:

       ,        где .

       Если учесть, что или , а также полученное в п.1.2 выражение для коэффициента фазы , то фазовая скорость волны через погонные параметры схемной модели однородной линии без потерь может найдена по формуле:

       .

Входное сопротивление линии

       Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний с комплексной амплитудой , отрезка линии длиной и сопротивления нагрузки .

       Воспользуемся уравнениями (1.7) для напряжения и тока в линии:

       

       Деля оба уравнения на ток , первое уравнение на второе, а также учитывая, что сопротивление нагрузки через ток и напряжение на выходе определяется соотношением:

       ,