Конспект лекций по курсу «Электронные цепи СВЧ» (стр. 7 )

Волновые матрицы

При анализе распределенных цепей удобно  использовать, если это обоснованно, декомпозицию цепи на подсхемы. При этом отдельные элементы цепи, соединенные произвольным образом, могут представлять собой многополюсники, описанные в различных системах  параметров.

В настоящее время, в зависимости от особенностей цепи  и частотного диапазона, широко используются  системы параметров классической теории, в которой под сигналами понимаются  токи и напряжения, и волновой теории, где сигналы - это волны тока и напряжения. Между параметрами этих теорий существуют однозначные связи.

Рассматриваемые распределенные цепи, таким образом, могут рассчитываться с помощью матричного аппарата теории цепей в предположении, что матрицы, описывающие элементы цепи,  остаются неизменными при любом сложном соединении элементов. При этом предполагается, что зона возмущенного поля вблизи неоднородностей локализована в непосредственной  близости от элемента (линейное приближение). Кроме этого, оговаривается, что взаимодействие  элементов осуществляется на основном типе волны.

Волновая матрица рассеяния. Преимущества описания многополюсников в виде параметров волновой матрицы рассеяния (S-параметров) могут быть связаны со следующими факторами.

Во-первых, с возможностью непосредственного измерения, что не представляется осуществимым для параметров классической теории, так как, например, при измерении Y-параметров предполагается проведение опытов короткого замыкания и холостого хода, что практически не реализуется в распределенных цепях.

Во-вторых, параметры рассеяния измеряются на основе распространяющихся волн, что позволяет проводить измерения на некотором расстоянии от физического местоположения объекта. Последнее обстоятельство особенно актуально при микроразмерах объекта.

Ограничившись рассмотрением четырехполюсников, выберем в качестве зависимых переменных волны, расходящиеся от четырехполюсника, т. е. рассеянные волны (рис. 1.12).

Тогда система уравнений, для сходящихся и расходящихся от четырехполюсника волн с коэффициентами в виде параметров рассеяния, запишется:

                                               (1.24)

Здесь – коэффициенты отражения соответственно от входа и выхода четырехполюсника, коэффициенты передачи из плеча в плечо . При этом падающие и отраженные волны нормируются так, чтобы их квадрат давал соответствующую мощность. В матричной форме система уравнений (1.24) может быть записана в виде:

Рис.1.12 К определению параметров рассеяния

Зная параметры матрицы рассеяния можно рассчитать соответствующие схемные функции четырехполюсника. Например, коэффициент прямой передачи мощности может быть рассчитан по формуле:

Параметры матрицы рассеяния могут  быть  рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле:

где – единичная матрица.

Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния ( на , на ), знаки же величин, входящих в уравнения (1.24) останутся прежними.

       Вывод :

Подставим в :

       

       

(минус, так как направлен из четырехполюсника.

Подставляя в уравнения системы:

       

       

       

Далее учтена нормировка.

       Первое уравнение:

       Второе уравнение:

Волновая матрица передачи. Если в качестве зависимых переменных выбрать волны на входе четырехполюсника – падающую на вход и отраженную от входа (рис.3.12), а в качестве независимых переменных – волны на выходе: распространяющуюся к нагрузке и отраженную от нагрузки, то система уравнений, коэффициентами в которой будут параметры волновой матрицы передачи, запишется:

                                               (3.25)

Описание четырехплюсников в виде волновой матрицы передачи удобно при их каскадном соединении. Результирующая матрица передачи в этом случае определится по соотношению:

       

Можно показать, что для взаимных четырехполюсников справедливо соотношение , а для симметричных: .

Связь между матрицей рассеяния и матрицей передачи волновой теории и  матрицей проводимости классической теории устанавливают следующие соотношения:

       

Условия нормирования волновых матриц

Рассмотрим условия нормировки волновых матриц на примере матрицы передачи (уравнения 3.25). Нормировка уравнений четырехполюсника, нагруженного по входу и по выходу на отрезки линий с заданными волновыми сопротивлениями (рис.3.13), связана с получением при описании распределенных цепей однозначных величин. Это объясняется тем, что использование понятий тока и напряжения, требует в каждом случае отдельных оговорок. Величиной, однозначно трактуемой в любых цепях и на любых частотах, является мощность на сторонах отрезка линии или в плечах четырехплюсника. Если волновые сопротивления линий на входе и на выходе действительны, то мощность можно  определить как или .

Тогда нормированные уравнения (3.25) перепишутся в виде:

               (3.26)

Рис.3.13  Четырехполюсник с линиями передачи

Нормированные таким образом волны представляют собой корни из мощности, переносимой падающей и отраженной волнами. Нормированная волновая матрица передачи может быть записана: