Алгебры и их применение (стр. 10 )

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiц, e-iц} ц(0, р) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер - ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), dск))) (2.4.)

где с1 > с2 >… ск меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк )) (2.5.)

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dск)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Нґ, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Нґ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление рF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере мF на Т.

Пусть каждому вектору оН поставим в соответствие подпространство Но Н, которое получается замыканием множества векторов вида р(х)о, где хА. Ограничения операторов из р(А) на Но является циклическим представлением. Обозначим его через ро, а соответствующую меру на Т через мо. Введем упорядочение в Н, полагая о>з, если мо > мз (то есть мз абсолютно непрерывна по мере мо).

Если зНо, то НзНо, тогда рз – циклическое подпредставление ро. Пусть Е Т и мо (Е) = 0, тогда мз (Е) = 0, следовательно мо > мз, а значит о>з.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нзк. Пусть {жi} – последовательность, в которой каждый из векторов зi встречается бесконечное число раз. Определим ок индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

ок+1 – максимальный вектор в (Ноi)┴,

d (жк, Ноi) ≤ .

Тогда разложение Н = Нок такое что ок>ок+1 и мк>мк+1 .

Пусть представления рм в L2(Т, м) и рн в L2(Т, н) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, м) →L2(Т, н) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vрм(g)f = рн (g)vf = рн (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dм=|a|2dн. Таким образом мера м абсолютно непрерывна по мере н. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что н абсолютно непрерывна по м, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Нґ = (С2L2(Т, мк)), где м1>м2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dск).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(ц)dЕ(ц) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(ц) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(ц)dЕ(ц), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.)

Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(ц) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, dск), где ск зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.