Алгебры и их применение (стр. 4 )

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть р – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда р = р1…..рn, где рi неприводимы.

Доказательство. Если dimр = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimр = q и что наше предложение доказано при dimр<q. Если р неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае р = рґ рґґ, причем dimрґ<q, dimрґґ<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение р = р1…..рn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть с1, с2 – два неприводимых подпредставления р. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с р(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий с1 и с2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что с1 и с2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление р эквивалентно одному из рi. Итак, перегруп - пировав рi, получаем, что р = н1…..нm, где каждое нi есть кратное сiнiґ неприводимого представления нiґ, и нiґ попарно эквивалентны. Если с – неприводимое представление р, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Нґ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих нi, кроме одного. Поэтому Нґ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений р, эквивалентных нiґ. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении р = с1н1ґ…..сmнmґ представления р, (где н1ґ,…, нmґ неприводимы и неэквивалентны) целые числа сi и классы представлений нiґ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и м – положительная мера на Т.

Определение 2.9. м – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара е = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство Н(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого хГ функция t→||x(t)|| м – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) м – измерима, то хГ.

Пусть е = ((H(t))tT, Г) м – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dм(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и лх (лС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dм(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dм(t).

Определение 2.10. Пусть е = ((H(t))tT, Г) – измеримое поле гильбер - товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, м - положительная мера на Т, t→Н(t) - м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление р(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→р(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→р(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→р(t)х измеримо.

Если поле представлений t→р(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор р(х)=р(t) (x) dм(t) в гильбертовом прост - ранстве Н =Н(t) dм(t).

Теорема 2.9. Отображение х→р(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

р(х+y) = р(t) (x+y) dм(t) = (р(t) (x) + р(t) (y)) dм(t) =р(t) (x )dм(t) +

+р(t) (y) dм(t) = р(х) +р(y)

Аналогично р(лх) = лр(х), р(хy) = р(х) р(y), р(х*)=р(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях р называется прямым интегралом р(t) и обозначается р =р(t) dм(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→ц(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dм(t).

Пусть е = ((H(t))tT, Г) – м-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, м1 – мера на Т, эквивалентная м (то есть каждая из мер м1, м абсолютно непрерывна по другой), и с(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dм(t) составляет поле t→с(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dм1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||с(t)-1/2х(t)dм1(t)||2 = ||х(t)||2с(t)-1 dм1(t) = ||х(t)||2dм1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, м – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→р(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dм(t) , р1==р(t )dм(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть м1 – мера на Т, эквивалентная м,