Алгебры и их применение (стр. 12 )

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+е, 1-е}), 0<ек<1,

причем dimН1+ек = dimН1-ек к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+е, 1-е}), где 0<ек<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН1+ек = dimН1-ек. Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2(Н1+ек Н1-ек ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PН2((Iк )) (1.6.)

Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда

Р1 + Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует л1 + л2 = a + b. Пусть л2 = е, тогда л1 = a + b – е.

Оценим е. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-ф) = (a - b)2 + 4abф > 0.

Тогда е = > = 0, то есть е = 0.

Допустим, что е ≥ a, тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)2 +4abф ≤ (b – a)2

abф ≤ 0, но abф > 0 и значит е < a

Итак,

л1 = е

л2 = a + b – е. (1.8.)

0 < е < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({ек, a + b - ек}), 0<ек<1, и

dimНек = dimНa+b-ек (Нек, Нa+b-ек - собственные подпространства оператора А, отвечающие ек) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({ек, a + b - ек}), где 0<ек<1, к=1,…m. Причем числа ек, a + b - ек входят одновременно в спектр А, и соответству - ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ек также инвариантна относительно А и dimНек = dimНa+b-ек = qk. (с учетом кратности ек)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((С2Нк)) (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((Нек Нa+b-ек) (1.10.)

Положим

P1 = PaPa+b ((Iк )) (1.11.)

Р2 = Pb Pa+b ( Iк )) (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPabPb (а+b)Pa+b (a(Iк ))