Алгебры и их применение (стр. 11 )

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - лх = y, х, y Н, л С. Тогда (1 - л) Рх = Рy. Если л ≠ 1, то Рх = Рy. Если х ≠ 1, то х = (Рy - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х.

4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н0,1 или х Н1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi, j ≠ {0}, то существуют k, l = 0,1 такие, что Нi, j Нk, l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk, l = {0} для любых k, l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = лкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

л1 = 0, л2 = 0;

л1 = 0, л2 = 1;

л1 = 1, л2 = 0;

л1 = 1, л2 = 1;

Но это означает, что k, l = 0,1 такие, что Нk, l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = , Р2 ф (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – лI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, е = , тогда л1 = 1+е, л2 = 1-е и 0<е<1 (поскольку 0<ф<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+е, 1-е}. Причем собственные значения 1+е и 1-е входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть л (А), тогда Ах = лх =лk +лl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нцк цк (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нцк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+ек, 1-ек входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нцк = Н1+ек Н1-ек, причем dimН1+ек = dimН1-ек = 1 (1.3)

Если цк ≠ цi, то ек ≠ еi (так как ек = =cosцк и цк (0, )). Объединим все Нцк, у которых одинаковые цк, в одно слагаемое, и обозначим его через Нцк. При этом, если dimНцк = 2qk, то есть Нцк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному цк, то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нцк = Н1+ек Н1-ек, dimН1+ек = dimН1-ек = qk.