Алгебры и их применение (стр. 3 )

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН1. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и fН1, но также р(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

р(х)Р1f Н1

следовательно, Р1р(х)Р1f = р(х)Р1f,

то есть Р1р(х)Р1 = р(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1р(х)Р1 = Р1р(х).

Следовательно, Р1р(х) = р(х)Р1; операторы Р1 и р(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1р(х)f = р(х)Р1f = р(х)f ;

Следовательно, также р(х)f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост - ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f1 +…+ р(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

|| рi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует рi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений рi и обозначаемое рi или р1…..рn в случае конечного семейства представлений (р1…..рn). Если (рi)iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления рi обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления р.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нб}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нб}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нб}. Но тогда Н=Нб; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нб) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нб}Н0М, содержащую максимальную систему {Нб}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление р в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление р неприводимо. При fН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы р(х)f, хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{б f | б C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть р(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление р приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления р в Н.

Теорема 2.6. (И. Шур) Представление р неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант р (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление р неприводимо и пусть ограни - ченный оператор В перестановочен со всеми операторами р(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(л) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом л оператор E(л) перестановочен со всеми операторами р(х) ; в виду неприводимости представления E(л) =0 или E(л) =1, так как (E(л) f, f) не убывает при возрастании л, то отсюда следует, что существует л0 такое, что E(л) =0 при л<л0 и E(л) =1 при л>л0 . Отсюда

В=л dE(л) = л0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста - новочный со всеми операторами р(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами р(х). Действительно,

В*р(х) = (р(х*)В)* = (Вр(х*))* = р(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами р(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами р(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами р(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Нґ такой, что Тр(х)=рґ(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим р и рґ.

Пусть Т : Н → Нґ - оператор, сплетающий р и рґ. Тогда Т* : Нґ → Н является оператором, сплетающим рґ и р, так как

Т* рґ(х) = (рґ(х)Т)* = (Тр(х*))* = р(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тр(х)=Т* рґ(х)Т= р(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с р(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uр(х)|T| = U|T| р(х)= Тр(х)= рґ(х)Т=рґ(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uр(х) = рґ(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Нґ, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Нґ и (2.3.) доказывает что р и рґ эквивалентны.

Пусть р и рґ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Нґ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Нґ. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и р, рґ эквивалентны.