Алгебры и их применение (стр. 5 )

Н1 =Н(t) dм1(t) , р1 =р(t) dм1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует р в р1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть с(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dм(t)Н в

Ux = с-1/2х(t) dм1(t).

Пусть б А. Имеем

р1(б)Ux = р(t)(б) с-1/2 х(t) dм1(t) = Uр(t)(б) х(t) dм(t) = Uр(б)x,

поэтому и преобразуем р в р1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; м, м1 – меры на Т и Т1 соответственно; е = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - м-измеримое и м1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть з: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий м в м1; з-изоморфизм е на е1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими свойствами:

для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(з(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было м-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле з(t)→V(t)х(t) Н1(з(t)) на Т1 было м1-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dм(t) в поле з(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dм1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dм(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; м – мера на Т, t→H(t) – м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ р(t) - м - измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dм(t), р ==р(t) dм(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, м1, t1→H1(t1), t1→ р1(t1), Н1, р1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что м (N) = м (N1) = 0;

борелевский изоморфизм з: T\N →T\N1, преобразует м в м1;

з-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует р(t) в р1(з(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dм(t) преобразует Д в Д1 и р в р1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если fL∞(T, м) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи з, то V преобразует f(t)It dм(t) в f1(t1) It1 dм1(t1), поэтому V преоб - разует Д в Д1. С другой стороны, пусть бА и х = х(t) dм(t)Н.

Тогда

Vр(б)х = Vр(t)(б) х(t) dм(t) = V(з-1(t1)) р(з-1(t1))(б) х(з-1(t1)) dм1(t1) = р1(t1)(б) V(з-1(t1)) х(з-1(t1)) dм1(t1) = р1 (б) V х

Поэтому V преобразует р в р1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера м на N, то есть м(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dм(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ - ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

б = (б1,…, бn) (n раз), то есть рассмотрим упорядо - ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро - ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1,…, Нn = . Его векторы имеют вид:

f = (fбC), || f ||2 =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде - ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)… f(n) = (3.4.)

Коэффициенты fб = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом