Инновационные технологии обучения математике в школе и вузе. Материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения профессора (стр. 5 )

Для современного этапа развития школьного математического образования характерен переход от экстенсивного обучения к интенсивному. Вновь приоритетными становятся проблемы развития интуиции, образного и пространственного мышлений, а также способности мыслить творчески, нестандартно. Современный этап педагогической практики – это не только усвоение знаний, но и сами способы усвоения и переработки учебной информации, составляющие основу вообще мышления и умений по переработке информации: умение сравнивать, анализировать, синтезировать, обобщать, классифицировать информацию. Перечисленные учебные умения играют важную роль в развитии пространственного мышления выпускников начальной школы.

В основу развития пространственного мышления положен обобщенный подход, включающий этапы: I – выявление знаний учащихся о геометрических фигурах; II – первичное знакомство с геометрической фигурой на основе наблюдений и практической работы; III – выделение существенных признаков геометрической фигуры; IV – конструирование и моделирование геометрической фигуры из определенного количества палочек, полосок бумаги, проволоки, пластилина; V – выделение знакомого образа геометрической фигуры в окружающей обстановке, на чертеже; VI – разбиение множества геометрических фигур на группы, классификация фигур; VII – знакомство с отдельными стереометрическими телами. Средством развития компонентов пространственного мышления являются: работа с моделями геометрических фигур; моделирование фигур из бумаги, палочек, пластилина.

Содержательную основу технологии развития пространственного мышлении выпускников начальной школы с использованием приемов по переработке информации составляют лабораторно – практические работы, в основу которых положены обобщенный и личностно – ориентированный подходы в обучении. Концептуальная идейная основа состоит в обеспечении готовности выпускников начальной школы к продолжению обучения в основной школе.

Комплекс лабораторно-практических работ, содержащий задания с геометрическими телами, включает в себя 14 работ. Лабораторная работа № 1. Тема: Замкнутые и незамкнутые поверхности. Кривые и плоские поверхности. Практическая работа № 1. Тема: Прямые и плоские поверхности. Практическая работа № 2. Тема: Четырехгранная пирамида. Практическая работа № 3. Тема: Четырехгранная пирамида. Лабораторная работа № 2. Тема: Многогранники. Практическая работа № 4. Тема: Многогранники.

Лабораторная работа № 3. Тема: Треугольная и четырехугольная пирамиды. Практическая работа № 5. Тема: Треугольная и четырехугольная пирамиды. Практическая работа № 6. Тема: Призмы. Практическая работа № 7. Тема: Призмы. Практическая работа № 8. Тема: Призмы. Практическая работа № 9. Тема: Призмы. Лабораторная работа № 5. Тема: Тела вращения Практическая работа № 10. Тема: Тела вращения.

На выработку умения создавать пространственный образ ориентированы лабораторные работы № 1, 2, 3, 4, 5, практическая работа № 8; умения оперировать пространственными образами – лабораторная работа № 1, практические работы № 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10; умения мысленно преобразовывать пространственный образ – лабораторная работа № 5, практические работы № 1, 4, 7, 10; умение воссоздавать пространственный образ – практические работы № 2, 3, 4, 6, 9, 10.

Приступая к практической реализации лабораторно – практических работ, были соблюдены следующие принципы построения: содержание и последовательность проведения соответствует тематическому планированию курса математики 4 класса по УМК «Гармония»; самостоятельность учащихся в выборе действий; новизна формулировки заданий; необходимость использования в процессе выполнения заданий приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, классификации и обобщения.

Организационные основы лабораторно-практических работ: составленные нами работы используются на уроке закрепления изученного материала; время проведения работы от 10 до 15 минут (в зависимости от количества предлагаемых заданий); возможно распределение заданий одной работы на несколько уроков – тогда на выполнение одного задания отводится от 5 до 7-8 минут; проверка лабораторно-практических работ осуществляется учителем; можно предложить проверку выполнения отдельных заданий в ходе текущей работы учащимся; необходимо отслеживать результаты проведенных лабораторно-практических работ (при проведении стартовой, промежуточных, контрольной диагностик). Лабораторно-практические работы носят как обучающий характер, так и проверочный. Диагностический аппарат составляли тесты выявления уровня пространственного мышления .

Результаты педагогического эксперимента представлены в таблице.

Этапы педагогического эксперимента	высокий уровень ПМ	средний уровень ПМ	низкий уровень ПМ
констатирующий этап	8%	31 %	61 %
контрольный этап	31 %	58 %	11%

Систематическое использование комплекса лабораторно – практических работ, содержащих задания с объемными фигурами, способствует повышению уровня развития пространственного мышления младших школьников, формированию готовности выпускников начальной школы к продолжению обучения в основной школе.

Библиографический список

1. Белошистая, А. В. К вопросу о развитии пространственных представлений и пространственного мышления младших школьников / // Начальная школа : плюс – минус№ 4. – С.

2. Покровская, у младших школьников представлений о геометрических фигурах: метод. пособие для учителей / . – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 174с. : ил. - ISBN -9

3. Тарасова, наглядной геометрии в обеспечении преемственности при обучении математике / // Начальная школа. – 2001. - № 5. – С.57 – 60.

4. Фридман, – педагогические основы обучения математике в школе : учебное пособие / . – М. : Педагогика, 1983. – 276 с.

5. Якиманская, основы математического образования : учебное пособие для вузов / . – М. : Академия, 2004. – 320 с. – ISBN 5 – 7695 – 1836 – 7.

(г. Москва)

комбинаторного стиля мышления
у выпускников начальной школы в процессе решения задач

по математике

В работе представлена технология развития комбинаторного стиля мышления у выпускников начальной школы, выявленная в процессе педагогического эксперимента, проводимого на базе СОШ № 000 г. Москвы.

В основу конструирования технологии положена следующая структура: а) концептуальная основа; б) содержательная часть обучения: цели обучения – общие и конкретные; содержание учебного материала; в) процессуальная часть – технологический процесс: организация учебного процесса; методы и формы учебной деятельности школьников; методы и формы работы учителя; деятельность учителя по управлению процессом усвоения материала; диагностика учебного процесса.

Содержательную основу технологии составляет разработанный комплекс занятий по темам: «Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов», «Подсчет вариантов с помощью графов. Таблица вариантов», «Кортежи. Правило произведения» и «Решение задач», а также два факультативных занятия по темам «Способы решения комбинаторных задач с дополнительными условиями» и «Графы» для работы с одаренными учащимися.

Технология включает диагностический материал по выявлению уровня развития комбинаторного стиля мышления: методики «Комбинаторные способности» и «Исследование гибкости мышления»; комплекс индивидуальных заданий, а также подборку задач для проведения эксперимента.

Проводимый эксперимент показал эффективность предлагаемой технологии: на этапе констатирующего эксперимента учащимися было решено 33 задачи (44%) из 75 (каждому учащемуся было предложено по пять задач) предложенных, на этапе контрольного эксперимента –%). Результаты методик «Комбинаторные способности» и «Исследование гибкости мышления» на этапе констатирующего эксперимента 54 % и 60% соответственно; на этапе контрольного эксперимента – 76% и 88%.

(г. Новотроицк)

Формирование понимания практической значимости
алгебры и начал анализа учащихся 10 класса лицея
в условиях управления качеством образовательного процесса

В рамках проводимого исследования по теме «Формирование понимания практической значимости алгебры и начал анализа учащихся 10 класса лицея индустриально-технологического профиля» были разработаны стандарты курса алгебры и начал анализа. Разработанные стандарты включают требования к освоению учебного материала по основным темам курса.

В результате изучения темы «Тригонометрические функции и их свойства» учащиеся должны уметь: находить на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу или соответствует заданной формуле; составлять формулу для чисел, соответствующих точкам окружности на координатной плоскости; строить графики тригонометрических функций, выполнять преобразование графиков; находить область определения и область значений функций, заданных формулой; описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций; строить графики обратных тригонометрических функций; преобразовывать выражения, содержащие обратные тригонометрические функции; распознавать виды тригонометрических уравнений, неравенств разных видов; описывать колебательные процессы в физике и технике с помощью графиков гармонических колебаний.

В результате изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» учащиеся должны уметь: решать уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции; с помощью графиков решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства; распознавать виды тригонометрических уравнений, неравенств; решать системы тригонометрических уравнений, неравенств различных видов; решать тригонометрические уравнения, используя методы: замены переменной, разложения на множители, введения вспомогательного аргумента, оценки монотонности функции, с помощью универсальной подстановки; решать тригонометрические уравнения и неравенства с параметром, решать уравнения, содержащие тригонометрические функции под знаком абсолютной величины; отбирать корни тригонометрических уравнений на промежутке;

В результате изучения темы «Производная» учащиеся должны уметь: находить члены последовательности по заданной формуле, или реккурентно; составлять формулу последовательности, заданной графически; графически иллюстрировать данную последовательность и составлять формулы асимптот; исследовать последовательность на монотонность, ограниченность; вычислять предел последовательности в точке и функции на бесконечности; находить знаменатель, первый член, сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии по заданным условиям; вычислять производные функций; находить тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX, коэффициент касательной к функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке, скорость тела по известному закону перемещения; вычислять производные сложной функции, обратной функции; определять существует ли производная функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины и вычислять ее.

В результате изучения темы Применение производной» учащиеся должны уметь: составлять уравнение касательной к графику функции; исследовать функцию на монотонность и экстремумы и строить ее график; применять производную для доказательств тождеств и неравенств; находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке; решать задачи на оптимизацию посредством моделирования явлений и процессов.

Для оценки качества понимания учащимися лицея практической значимости алгебры и начал анализа в 10 кл. разработаны диагностические задания, примеры которых приведены ниже.

По теме: «Тригонометрические функции и их свойства»

1. Рассмотрите движение математического маятника и движение точки по окружности. Найдите связь между этими движениями. Выведите формулы перемещения, скорости и ускорения колебательного движения. (Ребята, сравнивая движения маятника и точки по окружности, проецируют координаты точки окружности на оси координат, выводят формулы изменения величин, описывающих колебательное движение. V=AWcos w t, X=Asin wt, ax=-w2Asinwt)

2. По известному уравнению движения тела X=A cos wt найти действующую на тело силу. Назвать эту силу. Сделать вывод о причине колебаний пружинного маятника. Вывести формулу периода колебаний маятника. (Учащиеся, используя I закон Ньютона и закон Гука, учитывая формулы, описывающие колебательное движение, доказывают, что упругая сила действует на тело, заставляя его совершать гармонические колебания. F=ma, Fx=max => F=-mw2 x, mw2 =k => F=kx).

По теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»:

3. Под каким углом к горизонту должен вылететь снаряд, чтобы дальность полета была 9 км, если начальная скорость снаряда v =600м/с.(Учащиеся по рисунку определяют закон движения вдоль оси OX - оно равномерное, определяется формулой X=v0 cos α tполета, а вдоль оси OY - равнопеременное, Y=v0 sinα tполета - g t2/2. Когда снаряд упадет, то Y=0. Из данного условия учащиеся находят время полета. Подставив tполета. в формулу Y=v0 sinα tполета - gt2/2,можно найти угол вылета снаряда.)

По теме «Производная»:

4. Две точки движутся по одной прямой по законам s=t2 и s= t3/2 (t≥0). Каковы их скорости в момент встречи? В какой момент их скорости одинаковы? Постройте графики их движения и поясните полученные результаты. (Ученики сначала находят момент встречи, приравнивая пути. Затем находят формулы по которым изменяются скорости точек, учитывая, что скорость – это производная от перемещения по времени. Уравняв скорости, учащиеся находят момент времени, в который скорости будут равны.)

5. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону X(t)=t2 +t+1 координата измеряется в см, время – в сек. Найдите: а)действующую силу б)кинетическую энергию тела через 2 сек. после начала движения.(Зная, что ускорение-это вторая производная от перемещения по времени, учащиеся находят силу по формуле F=ma и кинетическую энергию E=mv2/2.По закону движения ученики находят скорость, как производную от перемещения по времени.)

По теме «Применение производной»:

6. Вращающий момент, получаемый пароходом от поворота руля на угол α, может быть выражен формулой М=а sin2αcosα. При каком угле поворота получается максимальный момент? (Пользуясь алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке α€(0;90),ученики находят производную от функции, приравнивая ее к 0,находят угол, arctg√2 и доказывают, что при данном значении угла вращающий момент будет максимальным).

7. Требуется выгородить прямоугольное пастбище площадью 1 км2 и разделить его на 2 прямоугольных участка. Какой наименьшей длины забор при этом может получиться? (Выразив из формулы s=ab одну из сторон, и составив формулу периметра от a и b P=3b+2a и подставив в нее выраженную переменную, учащиеся получают функцию от одной из сторон. Они находят производную от этой функции, приравнивают ее к 0, получают значение стороны и доказывают, что при данном значении сторон периметр (длина забора) будет наименьшим).

Понимание практической значимости алгебры и начал анализа выступает одним из существенных показателей качества образовательного процесса в лицее индустриально–технологического профиля.

(г. Орск)

Элементы финансовой математики

как средство формирования умений по использованию

информации у учащихся основной школы

Нарастающий поток общественной, научной и технической информации приводит к усложнению содержания образования, перегрузке обучающихся информацией, не имеющей прикладного значения. В то же время стратегия современного образования и социальный запрос общества определяют в качестве одного из основных направлений усиление практической направленности школьного преподавания, математические знания часто оказываются формальными и невостребованными в жизни, а их усвоение требует от большинства школьников значительных усилий. Становится очевидной необходимость формирования знаний о законах общества, в частности, основ экономических знаний, на уроках математики, перехода от изолированного изучения дисциплин к комплексному, например, к интеграции математики и экономики. Большое значение приобретает решение математических задач с экономическим содержанием, типичных для экономики семейного хозяйства, предприятия и страны в целом.

Такие задачи, с элементами финансовой математики, выразительно демонстрируют практическую ценность математики и позволяют активизировать учебную деятельность и развивать умения по использованию информации.

Реализация процесса «использование информации» требует от учеников ряд умений по ее применению, одними из которых являются умения моделировать, находить аналогии, опознавать и быстро воспроизводить информацию.

Умение моделировать включает в себя приближенное описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач. Таким образом, одной из целей курса является развитие умения заменять экономические явления математической моделью, то есть использовать изученные ранее темы курса алгебры.

Особенность моделирования экономических процессов состоит в исключительном многообразии и разнородности предмета моделирования. Например, перечень товаров и услуг в современном производстве насчитывает десятки миллионов наименований.

Можно выделить такие разделы курса алгебры, где применяются элементы финансовой математики:

·  Проценты, процентные вычисления. Здесь можно использовать информацию о страховании, о производительности труда на производстве, о получении от банков кредитов, о темпах инфляции, об отчислениях средств в Пенсионный фонд.

Например: 1. Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,25% страховой суммы при скидке 25% для постоянных клиентов. Определить величину страхового платежа для повторного страхования квартиры на сумму850 000 рублей. 2. Завод выпускал 12 000 наручных часов в месяц. После повышения цен на отдельные детали завод стал выпускать 9 000 часов в месяц при прежнем количестве работающих. Как изменилась при этом производительность труда?

·  Прогрессии. Начисление простых и сложных процентов по вкладам от населения требует от учащихся знания формул арифметической и геометрической прогрессий и умения их использовать при решении финансовых задач.

Например: 1. Пусть вкладчик открыл счет в банке и положил на него 120 000 рублей под простые проценты по ставке 7,8% годовых. Какая сумма денег окажется на счету через месяц; через 8; через 8 месяцев; через год? 2. Банк начисляет сложные проценты по ставке 13% годовых. Через сколько лет вклад в 150 000 рублей возрастет до 245 000 рублей?

·  Функция. Современная экономика с ее огромным количеством разнообразных взаимосвязей между основными ее структурами представляет широкую возможность для использования одного из основных понятий математики – понятие функции. Дело в том, что многочисленные величины, характеризующие экономические процессы, существуют не изолированно друг от друга, а, наоборот, очень тесно друг с другом связаны. Таковы цена товара и спрос на него, прибыль фирмы и объем ее производства, затраты ресурсов и объем выпуска продукции, размер кредита, выданного банком и плата за его использование, и т. д.

Например: 1. На рынке муки действуют две группы покупателей. Функция спроса первой группы имеет вид q1 = 100 – p. Спрос второй группы покупателей задан зависимостью q2 = 100 – 4p, где q – величина спроса на муку в тоннах, p – цена одной тонны муки в долларах. На рынке установилась ситуация, при которой было продано 80т. Муки. Определите величины суммарных расходов покупателей на приобретение муки и кто покупал муку (только первая группа, только вторая группа или обе группы). 2 . постройте функцию рыночного спроса, если известно, что на рынке некоторого товара спрос предъявляют три группы потребителей, функции спроса которых имеют вид q1 = 5 – p, q2 = 15 – p, q3 = 10– p, соответственно.

Разработанный комплекс упражнений способствует развитию у учащихся компонентов математических способностей в процессе решения задач методом математического моделирования. Структура этих упражнений состоит из следующих этапов: чтение (осмысление) условия задачи; установление взаимосвязей между величинами; составление математической модели процессов задачи; вычисление искомых величин; рефлексия (анализ) найденного решения; интерпретация полученного результата.

Мы рассмотрели часть упражнений, в результате выполнения которых формируется умение моделировать экономические задачи, которое является частью реализации процесса «использование информации».

Результаты констатирующего эксперимента, проведенного после апробации разработанного комплекса упражнений, показали более высокий уровень развития владения умениями по использованию информации выпускников основной школы. k2 = 74,9% - допустимый уровень.

Уровень развития компонентов вырос на 37,3% и поднялся с недопустимого уровня до допустимого. Результат педагогического эксперимента свидетельствует об эффективности использования элементов финансовой математики на уроках.

(п. Адамовка Адамовского района Оренбургской области)

Технология успешного обучения и воспитания в рамках УМК «Гармония»: опыт

Вот уже четвертый год я работаю с теми учащимися, которые после начальной школы продолжили изучение математики по УМК «Гармония». Эти ребята сегодня восьмиклассники и занимаются по другим учебникам, но умение открывать новые законы, правила отличает их от сверстников, обучающихся по традиционной программе.

В 2005 году я впервые познакомилась с УМК «Гармония» и сразу обратила внимание на то, что в учебниках нет никакого теоретического материала, никаких навязанных правил, свойств. Изучение каждой новой темы начинается с постановки вопроса (проблемы) Мне стало понятно, что здесь необходимо использование технологии проблемного обучения. Суть проблемного обучения заключается в том, что открытие нового совершается не самим учителем, а учениками под руководством учителя.

Как это осуществляется покажу на конкретном примере изучения темы: «Делимость суммы».

На доске появляются выражения:

(56+72):8 (63+49):7

(36+81):9 (64+56):7

(49+28):7 (64+72):8

(56+48):6 (45+81):9

Я формулирую вопрос и задание.

-Чем похожи эти выражения?

-Найдите значения выражений.

Ребята дают различные ответы, но каждый старается высказаться. Никто не молчит, потому что с начальных классов приучены добывать правила самостоятельно. Наконец получен ожидаемый ответ. Во всех выражениях делимое представлено в виде суммы двух слагаемых. А мы знаем, чтобы разделить сумму на число, нужно разделить на это число каждое слагаемое, а полученные результаты сложить.

Если в начальной школе деление суммы на число рассматривалось как теоретическая основа вычислительного приема деления двузначного числа на однозначное, то в 5 классе ставится другая задача: научиться использовать данное свойство для решения различных задач, а также для доказательства тех или иных утверждений. Вычисляя значения выражений, учащиеся обнаруживают, что не в каждом выражении слагаемые делятся на указанное число. Я ставлю другую задачу:

Попробуйте найти сумму и ее разделить на указанное число.

И опять неудача? После некоторых раздумий ребята делают предположение, а за ним формулируют правило.

1) Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то вся сумма делится на это число.

2) Если одно слагаемое не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число не разделится.

Так в результате совместной работы получены два правила. Переходим к закреплению.

Задание: Выбери выражения, значения которых делятся на 9:

1)54+36+72+81+18

2)9+27+35+54+72

3)42+12+36+18+81

4)42+12+36+18+6

Пользуясь правилами, ребята легко справляются с первыми двумя выражениями. В первом выражении каждое слагаемое делится на 9, поэтому используем правило (1), а во втором – одно не делится на 9, а остальные делятся, пользуемся правилом (2). А вот с выражением 3) опять проблема! Два слагаемых – 42 и 12 – не делятся на 9. Ни одно из правил не подходит. А вы подумайте. И опять в творческой работе находим выход. Заменим сумму чисел 42 и 12 числом 54, получим выражение 54+36+18+81, в котором все слагаемые делятся на 9 (можно воспользоваться правилом (1). В выражении 4) три слагаемых – 42,12,6 - не делятся на 9. Здесь по аналогии с предыдущим примером ребята догадываются заменить сумму чисел 42 и 12 числом 54 и к полученному выражению применяют правило (2), т. к. в нем только одно слагаемое не делится на 9. В результате такой практической работы дети делают для себя еще один вывод:

-Если в сумме более одного слагаемого не делится на некоторое число, то эту сумму необходимо «подогнать» под одно из правил и, воспользовавшись им, ответить на поставленный вопрос.

И так из урока в урок.

Применение технологии проблемного обучения и содержание УМК «Гармония» создает на уроке непринужденную обстановку, в которой учащиеся принимают активное участие в обсуждении того или иного вопроса, что очень важно для формирования интереса к предмету. А как известно, интерес – это сила, которая поведет и поможет в самых затруднительных обстоятельствах. Без глубокой настоящей заинтересованности успеха не будет!

Мои восьмиклассники, как и 4 года назад любят математику и успешно продолжают ее изучение.

Утвердившись в успешности обучения учащихся по УМК «Гармония», я с удовольствием взяла очередной 5 класс. Вопроса, по какой программе обучать пятиклашек математике уже не стояло. Конечно же, по «ГАРМОНИИ»!

(г. Орск)

Технология развития математической культуры

учащихся гимназии в процессе изучения элективного курса «Геометрические преобразования в архитектуре и искусстве»

В современных условиях модернизации общего образования на одно из первых мест выдвигается проблема развития математической культуры учащихся. Элективные курсы как составная часть предпрофильной подготовки, выполняет несколько функций:

- «надстройки» профильного курса, когда такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным;

- расширяют содержание одного из базисных курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по выбранному предмету в данном случае, по математике;

- способствуют удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

В исследовании проведенном на базе классов гуманитарного профиля выявлены и апробированы технологии развития математической культуры учащихся. Технологии ориентированы на овладение учащихся компонентами математической культуры. Содержательной основой данной технологии является - элективный курс: «Геометрические преобразования в архитектуре и искусстве».

Общая трудоемкость курса составляет 17 часов. Элективный курс включает следующие разделы: Виды проектирования; Ортогональное и центральное проектирование; Построение изображения плоских и пространственных фигур на плоскости; Геометрические преобразования в архитектуре (5 ч): Симметрия; Подобие и гомотетия; Задачи на применение подобия и гомотетии; Золотое сечение: Многогранники и тела вращения в архитектуре (3 ч): Винтовая симметрия (2 ч ).

Концептуальную особенность технологии в процессе изучения указанного элективного курса составляют: тематика проектирования; методические указания по выполнению проектов; технологические карты; тестовые задания.

Организационную основу технологии составляет метод группового поиска.

С целью выявления эффективности элективного курса был проведен эксперимент состоящий из трех этапов: констатирующий, формирующий, контрольный.

Констатирующий этап выявил низкий уровень сформированности математической культуры – 37%. Уровень сформированности компонентов математической культуры, в контрольном эксперименте составил 76,3%.

Разработанный элективный курс является дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, а также способствует пониманию учащимися философского постулата о единстве мира и осознанию положения об универсальности математических знаний.

(г. Кувандык)

Решение задач по математике как основа

мыслительной деятельности учащихся

Каких бы образовательных концепций не придерживался учитель, по каким бы программам и учебникам не работал, он не может ставить перед собой цель научить детей решать задачи.

Задачи должны отражать две стороны назначения математического образования: практическую, связанную с осознанием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и интеллектуальную, связанную с мышлением человека.

Решение задач должно побуждать к применению индукции и дедукции, анализа и синтеза, обобщения к конкретизации, абстрагирования и установления аналогий, вырабатывать умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым, развивая логическое мышление.

Для интенсифицирования процесса обучения; расширения и углубления знаний, умений и навыков ученика могут быть использованы упражнения, в которых надо:

– найти значение числового или буквенного выражения, требующего сложных преобразований или вычислений;

– решить уравнение с многовариативностью операций при нахождения корня или решить уравнение, записанное в нестандартном виде;

– решить неравенство с многовариативностью операций при нахождения решения или решить неравенство, записанное в нестандартном виде;

– проанализировать уравнение или неравенство в соответствии с параметром;

– найти ошибку в уравнении, неравенстве, числовом или буквенном выражении;

– составить уравнение, неравенство, числовое или буквенное выражение в соответствии с определенными требованиями;

– выявить лившее или недостающее условие и в соответствии с этим переформулировать задание;

– представить условие, решение или ответ задания в виде схемы, рисунка, графика, диаграммы.

Предлагаемые учащимся задачи и упражнения могут быть:

– с нестандартной формулировкой условия;

– с недостающим или излишним условием;

– с многовариативностью ответов и их анализом;

– с представленными требованиями (уравнение, неравенство, выражение) к ее условию и решению;

– с проверкой логики рассуждений;

– с проверкой логики преобразований и вычислений;

– на комбинацию разного рода опорных задач;

– с межпредметными связями;

– с использованием нескольких способов решения;

– по типу софизмов, кроссвордов, шарад и т. п.;

– из истории математики.

При формировании общего умения решать задачи предметом изучения и основным содержанием обучения являются задачи (в широком смысле слова), процесс решения задач, методы и способы решения задач, приемы, помогающие осуществлению каждого этапа и всего процесса решения в целом.

Умение решать задачи определенных видов состоит из: знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида; умения узнать задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и реализовать его на «узнанной задаче.

Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение детьми сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида (данного вида) и выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выбирать способы решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач.

При формировании у учащихся умения решать задачи определенных видов предметом изучения и основным содержанием обучения являются виды задач, способы и образцы решения задач конкретных видов.

В истории методики математики издавна идет спор — учить ли детей решать задачи определенных видов или, не выделяя видов задач, учить решать любые задачи. Положительный ответ давался то на первый, то на второй вопросы. В настоящее время главной целью провозглашено формирование общего умения решать задачи.

Представляемый подход и соответствующая технология строятся на утверждении, что необходимо формирование обоих умений. Такое формирование возможно при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся:

– накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и без такого осознания, на интуитивной основе;

– овладение компонентами общего умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности;

– выработка умения решать все виды простых задач, в том числе задачи на движение, на куплю-продажу, на нахождение дроби от числа и числа по его дроби, на вычисление площади прямоугольника и нахождение стороны прямоугольника по известной площади и другой стороне; выработка умения решать отдельные виды составных задач.

Исследование и практика показывают, что наиболее эффективно обучение, в котором идут от накопления опыта решения разнообразных задач к обучению общим приемам и методам, а от них – к овладению способами решения конкретных видов задач.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная. Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производиться решение задач.

Так что же такое задача? Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых, надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.

Производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываясь на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требование задачи.

Рассмотрим пример.

Задача. Катер прошел 20км по течению реки и 20км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чем ему требуется на прохождение 40км в стоячей воде, меньше или столько же?

Первичный анализ этой задачи позволяет вычленить такие условия:

катер прошел 20км по течению реки; 2) он прошел 20км против течения реки; 3) он же прошел 40км в стоячей воде.

Но. Сопоставив эти условия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же времени затратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мы обнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточность проявляется хотя бы в том, что в условия ничего не говорить о времени, а требование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужно продолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить время движения катера по реке со временем движения этого катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, от собственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденных расстояний. Но если пройденные расстояния в формулировке задачи даны, то скорости катера и реки не упоминаются. Как же быть? В таких случаях эти величины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенные параметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна v1 км/ч, а скорость течения реки v2 км/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия:

собственная скорость катера;

скорость течения реки;

катер проплыл 20 км по течению реки;

он же проплыл 20 км против течения реки;

на весь путь туда и обратно по реке катер затратил t1 ч;

в стоячей воде катер проплыл 40 км;

на этот путь он затратил t2 ч.

Требование задачи сравнить t1 и t2 и установить, равны они или нет, а если нет, то, что больше.

Умение анализировать задачу, проникать в ее сущность – это главное в общем умении решать задачи.

«Решающий задачу должен знать свой ум…» Существенным в процессе решения всякой задачи является желание, стремление ее решить. Стремление решить задачу плодотворно уже само по себе, так как оно, в конечном счете, может привести к решению и, безусловно, дает толчок мыслям.

Библиографический список

1. Гончарова, на основе технологии «полного усвоения» / . – М: Дрофа, 2004.

2. Истомина, обучения математике в начальных классах / . – М: AcademiA, 2001.

3. Истомина, младших школьников решению текстовых задач / , . – Смоленск: ассоциация ХХI век, 2005.

4. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. – М: Наука,1976

(п. Елизаветинка Адамовского района Оренбургской области)

Закрепление материала на основе сюжета сказки В. Сутеева «Мешок с яблоками»: сценарий урока по математике в 1 классе

В работе представлен опыт конструирования игровых технологий в обучении математике в начальной школе.

Тема урока: Сложение однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания (в пределах 10).

Цель: повторить изученное:

а) таблицы сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания (в пределах 10);

б) понятий «увеличить на», «уменьшить на»;

в) предметного смысла сложения и вычитания;

г) продолжать воспитывать в детях чувства доброты, сострадания и уважения.

Ход урока

1. Организационный момент

Руки? На месте!

Ноги? На месте!

Локти? У края!

Спина? Прямая!

2. Минутка чистописания

Запись в рабочей тетради: 2 …………………

3 …………………

3. Сообщение темы и цели урока

4. Основная часть урока

– Сегодня на уроке мы будем говорить об одной из черт характера человека. А вот какая это черта, вы узнаете, если выполните задание (задание № 1):

2+

1

2

3

4

5

6

7

3 Д

4О

5Б

6Р

7О

8Т

9А

- Что такое доброта? Какие добрые поступки вы совершали?

У: - Добрым быть совсем не просто,

Не зависит доброта от роста,

Доброта приносит людям радость

И взамен не требует награды.

У: - А чтобы поближе познакомиться с добротой, мы с вами должны отправиться в путешествие по сказке! Вы согласны? Итак, в путь!

У: - Ходил заяц с мешком по лесу, искал грибы-ягоды для своих голодных зайчат, но ничего ему не попадалось: ни грибов, ни ягод. И вдруг посреди зеленой поляны увидел он дикую яблоню: недолго думая, раскрыл заяц свой мешок и стал в него яблоки собирать.

Задание № 2:

а) в центре доски 3 столбика выражений (трое учащихся решают самостоятельно)

2+3 7-4 2+4

4+5 9-2 6+3

8-5 4+3 8-4

6-3 2+7 9-6

7-2 2-3

4-3 5+4 6-4

б) коллективная работа с классом (на парте у каждого ученика - карточка в форме яблока с записанными на ней 2 выражениями, которые решаются устно. Учитель собирает карточки-яблоки в корзину.)

У: - Набрал заяц полный мешок яблок. С трудом потащил его по лесной тропинке и вдруг голова его уткнулась во что-то мягкое (загадка):

Зимой спит, летом ульи ворошит (медведь)

Задание № 3:

а) на левой и правой частях доски 2 задания на соединение равных выражений. Двое учащихся решают их самостоятельно.

ЛЕВАЯ ЧАСТЬ ПРАВАЯ ЧАСТЬ

4+4 6–6 5 уменьшить на 3 5+3

6+1 2+6 разность 9 и 5 6–3

8–2 7увеличить на 3 9–5

9–6 8–1 5 увеличить на 3 5–3

2+3 8-3 разность 6 и 3 6+3

5+4 9–3 сумма 5 и 3 –

б) коллективная работа с классом (математический диктант):

Составить выражения, найти значения и записать в тетрадь:

3 увеличить на 4 7 уменьшить на 1

9 уменьшить на 3 2 увеличить на 6

4 увеличить на 4 7 уменьшить на 5

10 уменьшить на 2 4 увеличить на 6

У: - Идет заяц по лесу, а со всех сторон бегут к нему бельчата: « Дяденька заяц, дайте яблочек!». Ничего не поделаешь, пришлось снова мешок открыть.

Задание № 4

На доске записаны выражения, учитель читает условия задач. Дети должны соотнести условие задачи с выражением:

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ ВЫРАЖЕНИЯ

На одной тарелке 9 яблок, 1+4

а на другой на 3 меньше. 10-5

9-3

Маша нашла 8 грибов, 8-2

а Аня на 2 меньше. 5+2

4+3

У Димы 5 значков, 6+3

а у Юры на 2 больше. 2+3

4-3

Миша поймал 4 рыбки, 6-3

а Коля на 3 больше. 5+4

8-6

В одной клетке 6 цыплят, 7-2

а в другой на 3 больше. 7+2

У: - По дороге домой заяц встретил словно елка, весь в иголках (ежика): « За грибами собрался, а грибов нигде не видно. Хожу с пустой корзинкой». А заяц ему в ответ: «Ты лучше у меня яблок возьми».

Задание № 5

Разгадай правило, по которому составлен ряд чисел и продолжи его:

1, 6, 2, 7,…………….

1, 7, 2, 8,…………….

2, 4, 3, 5,……………

У: - Вышел заяц на лужок, а там коза со своими козлятами гуляет. Их заяц тоже яблоками оделил. Но между козлятами возник спор, у кого яблок больше.

Задание № 6

Работа в печатной тетради на сравнение выражений.

У: - Ходил, ходил заяц и устал. Присел было на бугорок, как вдруг!!!

Сделал дыру, вырыл нору, солнце сияет, а он и не знает (крот).

Угостил заяц крота яблоками. «Спасибо, дружище!»- сказал крот и исчез под землей.

Задание № 7

Вставь вместо точек числа, чтобы получились верные равенства:

1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ

… - … = … + … ... + … = … - …

… + … = … + … … - … = … - …

… - … = … - … … + … = …+ …

У: - А в заячьем домике давно ждали папу-зайца голодные зайчата. И тут кто-то постучал в дверь. Дверь распахнулась - появились бельчата с большим лукошком, полным орехов. «Чудеса!»- прошептала зайчиха.

Задание № 8

1 ВАРИАНТ

Используя числа 7, 6, 2, составь пять выражений, найди их значения.

2 ВАРИАНТ

Используя числа 3, 5, 4, составь пять выражений, найди их значения.

У: - И тут встретил заяц ворону: «Кар! Кар! Всем яблоки раздавал, а меня хоть бы одним яблочком угостил!». Вытряхнул заяц из мешка последнее яблоко, а ворона говорит: «Очень мне нужно твое яблоко! Я их терпеть не могу! Что делается! Родным голодным детишкам пустой мешок несет!». «А я…А я…сейчас обратно в лес пойду и снова полный мешок принесу»,- закричал заяц. «Куда же ты пойдешь? Смотри, какая туча собирается!».

Задание № 9

Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные записи

У: - И побежал заяц обратно в лес. А когда подбежал к своей заветной яблоне, то там под деревом сидел волк. Вот тут-то и пригодился зайцу пустой мешок.

Задание № 10

Работа в тетрадях на печатной основе (по выбору учителя)

У: - Уже поздно ночью приплелся заяц к своему дому. А дома давно крепким сном спали сытые зайчата.

5. Итог урока

У: - Ребята, вам понравилась сказка? Чему она вас научила?

(п. Тошла Ленинградской области)

Подготовка учащихся к олимпиадам как средство развития

их математической культуры

Одним из показателей результативности работы учителя, безусловно, является успешное выступление его учеников на предметных олимпиадах. С другой стороны, и для ученика опыт участия в олимпиаде представляет несомненную ценность как в плане сопоставления своего уровня освоения знаний и умений по данному предмету с уровнем других участников, так и в плане приобретения новых умений (психологических, стратегических), способствующих развитию личности.

Конечно, без специальной подготовки к олимпиаде рассчитывать на успех не приходится. Ведь олимпиадные задания по математике составляются для учащихся, у которых сформированы некоторые очень важные компоненты математической культуры. Например, такие, как умение проводить анализ условии задачи, конструировать рассуждения по поиску решения задачи, умение видеть в разных по содержанию задачах одну и ту же плодотворную идею решения, выбирать наиболее рациональный метод решения, выбирать наиболее рациональный метод решения [1].

Проанализировав задачи олимпиад разного уровня за последние 3–5 лет, мы пришли к выводу, что для хорошей подготовки учащихся к олимпиадам по математике необходимо рассмотреть следующие тины задач: задачи в целых числах; задачи на делимость; логические задачи; уравнения и оригинальные способы их решения; задачи на решение и доказательство неравенств; комбинаторные задач; планиметрические и стереометрические задачи, решаемые нестандартными методами (в том числе векторным, координатным, методом геометрических преобразований); задачи на принцип Дирихле.

Конечно, нет гарантии, что на олимпиаде не попадется задача, не относящаяся ни к одному из приведенных типов заданий, но знание именно методов и приемов решения этих задач поможет ученику реализовать свой творческий потенциал в условиях олимпиады. Как же на практике мы готовим учащихся к олимпиаде?

Во-первых, с самого начала нового учебного года учителя математики стараются включать в учебный материал урока задания (устные или письменные), требующие нестандартного подхода; поощряют тех учеников, которые подбирают такие задания и приносят их на урок. Ученики называют такие задания «задачами на смекалку». На стендах в кабинетах математики вывешиваются задачи для решения. При обсуждении их решений выявляются учащиеся, которые предлагают наиболее интересные, оригинальные способы решения. Во время осенних каникул приглашаем всех любителей решать задачи. Это как бы «разминка» перед школьной олимпиадой, которая приводится через одну–две недели после каникул. В первом туре олимпиады по математике могут принять участие все желающие, количество участников ничем не ограничено. По результатам школьной олимпиады выделяем тех, кто занял в каждой параллели 1–4 места, и начинаем готовить их к городской олимпиаде (второй тур). Организуем группу 8 – 9 классов и группу 10 – 11 классов. Занятия проводим один раз в неделю по указанной тематике. Используем задания Соросовских олимпиад. Школьных, городских, региональных и т. д. С группой 10 – 11 классов занятия проводит преподаватель вуза, с группой 8 – 9 классов – учителя гимназии. Каждое занятие состоит из двух частей: первая часть посвящена теории, рассмотрению различных методов решения задач, а вторая отводится для демонстрации учащимися собственных решений. Некоторые задачи не получаются ни у кого. В этом случае под руководством учителя ведется коллективный поиск решения задачи. Вспоминаем, попадалась ли нам похожая задача. Kaкова была идея решения? Если нет – намечаем несколько путей решения, тут же проверяем свои гипотезы. Бывает, что задачу все же не удается решить. Оставляем ее до следующего занятия (от нее нужно «отдохнуть», тогда, возможно, найдется совсем другой подход к еe решению). Обычно такая ситуация порождает дух соревнования (кому же удастся решить трудную задачу?), и в случае удачи ученик испытывает гордость «первооткрывателя». Oн становится уважаемым человеком, а это – большой стимул для подростка. Перед олимпиадой с учениками беседует психолог. Он дает рекомендации, как настроить себя на продуктивную работу, как провести «саморелаксацию» и т. д. С победителями городской олимпиады проводится примерно такая же подготовка, но учеников уже 2 – 3, и задания гораздо сложнее.

Опыт показал, что такая работа способствует развитию математической культуры школьников и формирует творческую направленность личности.

Библиографический список

1. Уткина, Т. И. К вопросу о развитии математической культуры будущего учителя [Текст] / // Теория и практика управления математической подготовкой специалиста в педагогическом вузе. – Орск, 1996. – с. 166.

,

(г. Орск)

высшей математики
при решении стереометрических задач

как инновационный подход к обучению геометрии в школе

Задачей технологии как науки является выявление совокупности закономерностей с целью определения и использования на практике наиболее эффективных, последовательных образовательных действий, требующих меньших затрат времени, материальных и интеллектуальных ресурсов для достижения какого-либо результата.