Рассмотрим сначала водородоподобный атом в отсутствии внешнего электрического поля. Рассмотрим случай, когда уровни энергии невозмущенного атома зависят как от главного, так и от орбитального квантовых чисел, пробегающих значения: и . (Примером такого атома может быть, к примеру, атом щелочного металла). При этом состояние электрона в таком атоме определяется одной и собственных функций:. Магнитное квантовое число принимает целочисленные значения от до , то есть значение. Так как мы исследуем эволюцию вполне определенного уровня с конкретными значениями и , можем далее эти два индекса опустить и оставить только . Тогда вырожденному раз уровню энергии соответствует набор собственных функций: . Согласно квантовомеханическому принципу суперпозиции состояний, любая линейная комбинация частных решений также будет являться решением, соответствующим данному собственному значению энергии. Тогда в общем виде состояние электрона в водородоподобном атоме с энергией можно записать:

.

(10.6.4)

Найдем теперь для этого состояния среднее значение проекции электрического дипольного момента электрона :

.

(10.6.5)

Здесь есть матричный элемент оператора дипольного момента электрона в невозмущенном состоянии атома:

.

(10.6.6)

Тогда матричный элемент оператора возмущения можно записать так:

.

(10.6.7)

Вычислим , учтя, что ,:

.

(10.6.8)

Последний интеграл равен нулю при . Если , то нулю равен средний интеграл. Таким образом, . Тогда можно утверждать, что среднее значение электрического дипольного момента электрона равно нулю. Согласно (10.6.1) равна нулю и энергия возмущения. Отсюда следует, что в водородоподобных атомах, помещенных во внешнее электрическое поле, энергия которого пропорциональна первой степени напряженности, не может быть расщепления уровней, так как среднее значение электрического дипольного момента равно нулю.

Расщепление, пропорциональное более высоким степеням напряженности внешнего электрического поля, может иметь место. Если учесть поправку в первом приближении к волновой функции, то есть учесть деформацию атома во внешнем поле, то волновую функцию возмущенной системы можно представить в виде:

,

(10.6.9)

где - волновая функция электрона при отсутствии внешнего возмущения (нулевое приближение), - поправка к волновой функции, пропорциональная первой степени напряженности внешнего поля . Можно показать, что при этом среднее значение электрического дипольного момента электрона уже не будет равно нулю, а будет пропорционально :

.

(10.6.10)

Этот момент является результатом поляризации (деформации) атома во внешнем поле. Потенциальная энергия взаимодействия этого момента с внешним полем равна:

.

(10.6.11)

Тогда работа внешнего поля по поляризации атома при изменении напряженности от 0 до определится так:

.

(10.6.12)

При этом смещение квантовых уровней будет пропорционально .

Если же рассмотреть атом водорода, где, как известно, в невозмущенном состоянии наблюдается квантовомеханическое вырождение не только по магнитному, но и по орбитальному квантовому числу, то есть энергия зависит только от главного квантового числа , то кратность вырождения уровней (без учета спина) будет . Тогда наиболее общим состоянием, соответствующим энергии , будет:

.

(10.6.13)

Тогда среднее значение поправки к энергии для возмущенной системы будет:

.

(10.6.14)

то есть пропорционально напряженности внешнего возмущающего электрического поля. Этот эффект наблюдается экспериментально.

Рассмотрим более подробно картину расщепления энергетических уровней атома водорода во внешнем электрическом поле. Не будем рассчитывать эволюцию первого уровня, так как он не вырожден (если не учитывать спин электрона) и не расщепляется. Тогда рассмотрим расщепление второго энергетического уровня. Второму уровню соответствуют следующие состояния: (s – состояние); , , (p – состояния).

Ранее, при рассмотрении задачи об электроне в атоме водорода, мы получили:

, , , , .

Здесь - радиус первой боровской орбиты. Воспользовавшись тем, что и , а , запишем выражения для волновых функций:

,

(10.6.14)

,

(10.6.15)

,

(10.6.16)

.

(10.6.17)

.

Наиболее общим состоянием, соответствующим энергии , будет:

.

(10.6.18)

Для нахождения уровней энергии и волновых функций возмущенной системы воспользуемся уравнением Шредингера (10.5.4) для возмущенной системы, записанным в энергетическом представлении:

.

(10.6.19)

где и пробегают значения от 1 до 4 , а . Учитывая выражения для волновых функций и , получим:

.

(10.6.20)

Все остальные матричные элементы оператора возмущения равны нулю. Матричный элемент нетрудно рассчитать:

.

(10.6.21)

Интегралы по угловым переменным дают . Тогда, вводя новую переменную , получим:

.

(10.6.22)

Распишем теперь уравнение Шредингера (10.6.19):

,

(10.6.23)

,

,

.

Определитель этой системы должен быть равен нулю:

.

Отсюда можем определить корни уравнения: , , , то есть уровни двукратно вырождены. Таким образом, четырехкратно вырожденный второй уровень энергии атома водорода расщепился на три подуровня, то есть при включении внешнего электрического поля вырождение снимается лишь частично.

В результате, вместо резонансной спектральной линии невозмущенного атома водорода, соответствующей переходу , при включении внешнего электрического поля возникают три линии, образующиеся при квантовых переходах: (a), (b) и (c). Разница между уровнями энергии и равна эВ. Здесь выражено в в/см. Расщепление уровней энергии очень маленькое: даже при , в то время, как разность

Найдем нулевые приближения для волновых функций, соответствующие значениям энергии и . Наша задача сводится к нахождению из системы уравнений. Подставив туда значения энергии , получим, что , , .

Для несмещенных подуровней наиболее общее состояние описывается волновой функцией: , где коэффициенты и произвольны.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для смещенного уровня: имеем: , . Тогда волновая функция этого уровня: . Множитель появился здесь благодаря тому, что функция нормирована на 1.

Для уровня получаем, что: и . В результате волновая функция будет иметь вид: .

Итак, при наличии внешнего электрического поля напряженностью волновые функции стационарных состояний будут , , и .

10.7. Влияние электрических полей на вид и интенсивность линий в спектрах звезд

Формирование линейчатого (фраунгоферова) спектра звезды происходит в ее атмосфере. Физические условия, реализуемые в атмосфере, неизбежно влияют на свойства спектральных линий. Как правило, в атмосферах звезд нет регулярных электрических полей. Однако, в условиях плотных атмосфер, характерных для звезд-карликов, когда возможны тесные сближения частиц атмосферы, влияние электрических полей на спектр может стать значительным. Это объясняется искажением энергетических уровней атомов при близком прохождении заряженных частиц, ионов и электронов. При этом возможны квантовые переходы между возмущенными уровнями. Частота таких переходов может существенно отличаться от частот спектральных линий невозмущенного атома. Этот процесс можно рассматривать как микроскопический эффект Штарка, возникающий вследствие статистических флуктуаций электрических полей ионов и электронов. Ему особенно подвержены бальмеровские линии водорода и линии гелия, так как у тех и других исходное состояние соответствует пребыванию электрона на сильно возбужденном уровне далеко от ядра.

Именно эта причина и вызывает значительное расширение водородных линий в спектре звезд-карликов спектральных классов А и В. То же наблюдается и у линий гелия, однако в более слабой степени.

10.8. Расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле (эффект Зеемана)

10.9. Теория возмущений, зависящих от времени

Тема 11

вероятность вынужденных квантовых переходов

ЛИТЕРАТУРА

1. Ален величины. – М.: Мир, 1977. – С.446.

2. Квантовая механика. – М: Мир, 1965. – С.334.

3. Блохинцев квантовой механики. – М.: Наука, 1976. – С.664.

4. Борисоглебский механика. – Минск: Изд-во «Университетское», 1988. – С.624.

5. де. Революция в физике. – М.: Атомиздат, 1963. – С.

5. Гамов Дж. Моя мировая линия. – М.: Наука, 1994. – С.302.

6. , Новикова в квантовую физику. – М.: Наука, 1988. – С.328.

7. Давыдов механика. – М.: Наука, 1973. – С.704.

8. Давыдов атомного ядра. – М.: Физматгиз, 1958.

9. , Половин вопросы квантовой механики // Успехи физических наук. – 1992. – Т.162, № 10. – С.93 – 180.

10. Жданов твердого тела. – М.: Изд. МГУ, 1961. – С.502.

11. В поисках: физики и квантовая теория. – М.: Атомиздат, 1971. – С.288.

12. , Лифшиц механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1989. – С.768.

13. Мартынов общей астрофизики. – М: Наука, 1971. – С.616.

14. Мигдал физика для больших и маленьких / Библиотечка «Квант», выпуск 75. – М.: Наука, 1989. – С.142.

15. Квантовая механика. – М.: Мир, 1988. – С.368.

16. Квантовая механика. – М.: ИИЛ, 1959. – С.474.

17. Шпольский физика. – Т.2. – М.: Наука, 1984. – С.440.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10