Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 6 )

3.3. Постулаты Бора. С точки зрения классической физики модель атома Резерфорда, основанная на строгих экспериментальных данных, не имела недостатков. Однако, атом Резерфорда, как и атом Томсона, был короткоживущим и обладал таким же бедным спектром. Иными словами, недостатки модели Томсона оказались в полной мере присущими и модели Резерфорда. Причина этого была совершенно не ясна. Многие физики пытались разобраться в данном вопросе и каким-то образом исправить модель Резерфорда, однако, все эти попытки оказались неудачными.

В 1913 г. молодой датский физик Нильс Бор совершил, как он сам говорил, «акт отчаяния». Он попытался привести в соответствие вполне очевидную модель атома Резерфорда с известными свойствами атома – долгоживучестью и сложным линейчатым спектром, присущим атому водорода. Для этого Бору пришлось постулировать определенные утверждения, не пытаясь глубоко вникнуть в их смысл. В результате были сформулированы три знаменитых постулата Бора.

I постулат. Электрон в атоме может двигаться не по любым, а лишь по строго определенным орбитам, называемым стационарными. Двигаясь по стационарной орбите, электрон не испускает и не поглощает энергии.

II постулат (постулат частот). Испускать и поглощать энергию электрон может только при переходе с одной стационарной орбиты на другую:

(3.3.1)

III постулат. Электронная орбита является стационарной, если выполнено соотношение:

.

(3..3.2)

Здесь интегрирование производится по длине - й орбиты электрона.

Третий постулат был записан на основе метода квантования адиабатических инвариантов, предложенного П. Эренфестом.

3.4. Атом Бора-Резерфорда. Дополним модель атома Резерфорда постулатами Бора. Если электрон движется равномерно по круговой орбите, то из третьего постулата Бора следует, что

, или	(3.4.1)
или	(3.4.2)

Возведем это выражение в квадрат

(3.4.3)

Из (3.2.4) следует, что

.

(3.4.4)

Решая совместно уравнения (3.4.3) и (3.4.4), получим выражение для радиуса - й боровской орбиты

.

(3.4.5)

Тогда полная механическая энергия электрона опишется так

,

(3.4.6)

что согласуется с формулой Бальмера (3.1.1).

3.5. Недостатки модели Бора-Резерфорда. Модель Бора Резерфорда позволяет рассчитать радиусы боровских стационарных орбит, скорости и энергию электрона на них. В результате получена формула Бальмера.

Недостатки модели Бора-Резерфорда связаны с тем, что эта модель не является последовательно квантово-механической. По-существу, это – классическая модель атома, дополненная не свойственными ей, чуждыми классической физике, квантовыми постулатами. Адекватное же описание атома может быть сделано только в рамках последовательной квантовой механики.

Тема 4

Гипотеза Луи де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц

В 1892 г. в городе Дьеп (Франция) родился принц Луи Виктор де Бройль, потомок королей и будущий Нобелевский лауреат. Закончив филологический факультет Парижского университета, как и большинство его современников Луи де Бройль воевал и лишь после войны стал изучать физику и работать в лаборатории своего старшего брата Мориса, который занимался рентгеновской спектроскопией, атомной и ядерной физикой. Он был знаком со многими ведущими физиками того времени и был в курсе всех последних открытий в атомной физике.

В 1905 г. А. Эйнштейн высказал революционную идею о корпускулярно-волновой природе света. Она стала стимулирующим импульсом для Луи де Бройля, распространившего эту идею на все микрочастицы.

Свое главное открытие де Бройль сделал в возрасте 31 года в 1923г. и изложил его в трех коротких заметках в трудах Французской академии. Де Бройль верил в единство законов природы. Он предположил, что не только свет, а и все тела в природе должны обладать одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Сам де Бройль в 1924 г. в диссертации говорит о своем открытии так: «После долгих размышлений и раздумий я внезапно понял, что открытие, сделанное Эйнштейном в 1905 г., следует обобщить и распространить на все материальные частицы, в частности на электроны».

Де Бройль обратил внимание на тот факт, что электрон, находящийся в атоме в стационарном состоянии, описывается в теории Бора с помощью постоянной Планка . Действительно, второй постулат Бора формулируется как , где и − значения энергии стационарных состояний, а − энергия поглощаемого или излучаемого фотона при переходе между ними. Сопоставление этого выражения с уравнением Эйнштейна для фотоэффекта привело к предположению, что если появляется постоянная Планка, то это является признаком наличия корпускулярно-волнового дуализма (двойственности). Для фотона справедлива также формула для расчета импульса (формула Эйнштейна):

,

(4.1)

откуда следует, что

.

(4.2)

Де Бройль воспользовался аналогией между свойствами фотона и других микрочастиц: формулы для микрочастиц должны записываться аналогично формулам для фотона.

В результате была записана знаменитая формула де Бройля

(4.3)

Здесь - есть длина волны де Бройля.

Эта идея в 1927 г. получила блестящее подтверждение в экспериментах по дифракции электронов в кристаллах, осуществленных американскими физиками Клинтоном Джозефом Дэвиссоном () и Лестером Альбертом Джермером (). нналогичные результаты в 1928 г. были получены Г. Томсоном (сыном Дж. Дж. Томсона), а в 1930-х годах − и многими другими физиками. По словам Э. Шредингера: «Некоторые исследователи приступили к выполнению опыта, за который еще несколько лет назад их бы поместили в психиатрическую больницу для наблюдения за их душевным состоянием. Но они добились успеха!»

В 1929 г. Луи де Бройлю была присуждена Нобелевская премия «за открытие волновой природы электрона».

Тема 5

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

В 1927 г. Вернер Гейзенберг догадался, что понятия «волна» и «частица» в применении к квантовым объектам можно употреблять только одновременно.

Квантовый объект − не частица и не волна, и даже ни то, ни другое одновременно. Это − нечто третье, не равное простой сумме свойств волны и частицы.

, услышав слова: «Удивительно, как это Колумб открыл Америку!», заметил: «Было бы еще удивительнее, если бы он не нашел ее на месте». Эти слова можно отнести и к измерениям в квантовой механике. Обычно удивляются тому, что невозможно измерить одновременно точно и координату, и импульс электрона. Однако следует скорее удивляться тому, что мы вообще можем измерить координату или импульс отдельного электрона с помощью грубых макроскопических приборов, имеющих массу, в 1026 раз большую массы электрона.

5.1. Обсуждение опытов по измерению физических величин. Спор Бора с Эйнштейном. «Н. Бор и А. Эйнштейн впервые встретились в Берлине весной 1920 г. Эйнштейну был 41 год, Бору – 34. Они давно знали и ценили друг друга. Личная встреча произошла на обоих огромное впечатление. Вскоре после знакомства Эйнштейн писал Бору: «Не часто в моей жизни человеческая личность доставляла мне такую радость самим фактом своего существования…» В это же время он пишет Эренфесту: «Бор был здесь, и, также как и ты, я совершенно влюблен в него. Он похож на чрезвычайно чувствительного ребенка, перемещающегося в этом мире в состоянии некоего транса…» Бор, в свою очередь, писал Эйнштейну: «Встретить Вас и говорить с Вами было одним из сильнейших переживаний в моей жизни…»

Ирония судьбы состояла в том, что Бор – будущий создатель принципа дополнительности – до 1925 года старался в своих работах сохранить классическую электродинамику, не понимая, что открытый Эйнштейном в 1905 году дуализм фотона был первым примером дополнительности. Позже, когда почти все физики приняли вероятностную интерпретацию волновой функции, Эйнштейн отнесся к этому толкованию отрицательно, хотя сам в работе 1916г. Впервые ввел вероятности переходов…

В октябре 1927 г. Бор встретился с Эйнштейном на V Сольвеевском конгрессе физиков, где присутствовали почти все создатели квантовой механики. Участники конгресса были свидетелями того, как каждый день за завтраком Эйнштейн предлагал Бору очередное доказательство нарушения соотношения неопределенностей в придуманном им опыте. Но вечером того же дня Бор показывал, что при более тщательном рассмотрении соотношение неопределенностей подтверждается.

Несмотря на любовь и взаимное уважение, споры были бескомпромиссными. Даже когда Эйнштейн почувствовал в конце концов, что не может найти слабого места в принципе неопределенностей и в логике квантовой механики, он заявил, что эта вполне последовательная точка зрения противоречит его физической интуиции и, по его убеждению, не может быть окончательным решением: «…Господь Бог не играет в кости…»

В 1935г. Затихший спор разгорелся вновь – появилась работа Эйнштейна, подольского и Розена «Может ли квантовомеханическое описание физической реальности считаться полным?»

Спор Бора с Эйнштейном был, по существу, спором двух философов, двух теорий познания – ясного взгляда старой физики и более гибкой философии, вобравшей в себя новые факты квантовой физики XX века и вооруженной принципом дополнительности».

5.2. Измерение координаты (опыт с микроскопом) (Л. Шифф «Квантовая механика», стр.20-21).

5.3. Измерение импульса (Л. Шифф «Квантовая механика», стр. 21-22)

5.4. Дифракционный опыт (Л. Шифф «Квантовая механика», стр.22-24)

5.6. Принцип дополнительности. Соотношение неопределенностей и корпускулярно-волновой дуализм − частные проявления общего принципа дополнительности.

Принцип дополнительности − одна из самых глубоких философских и естественнонаучных идей нашего времени.

Дополнительные понятия несовместимы.

Всякое истинно глубокое явление природы не может быть определено однозначно с помощью слов нашего языка и требует для своего определения по крайней мере два взаимоисключающих дополнительных понятия.

Тема 6

Волны де Бройля

Волной принято называть функцию координат и времени , когда и координата и время входят в один сложный аргумент. Частный, идеальный случай волны – гармоническая (синусоидальная) волна.

Итак, Луи де Бройль предположил, что движение микрочастицы можно описать волновой функцией, а именно – плоской гармонической волной:

.

(6.1)

Здесь - волновой вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны. Его численное значение .

Гипотеза де Бройля базировалась на предположении о сходстве свойств микрообъектов и фотона: как и фотон, микрообъекты должны обладать корпускулярно-волновым дуализмом. Тогда формальное описание микрообъектов должно быть похоже на формальное описание фотонов. Энергия фотона связана с его частотой по формуле: . Считаем, что подобная зависимость связывает энергию микрочастицы с ее частотой. Воспользовавшись этим, а также, выразив из формулы де Бройля, получим выражение для волновой функции в следующем виде:

(6.2)

Найдем фазовую скорость волны де Бройля, то есть скорость перемещения некоторой фиксированной фазы или скорость фронта волны. Для этого «зафиксируем» фазу волны: . Отсюда: . Тогда фазовая скорость . Однако, , а (эта формула справедлива даже для релятивистских скоростей). Здесь буквой мы обозначили механическую скорость частицы, через – скорость света. Тогда фазовая скорость волны де Бройля для частицы:

.

(6.3)

Так как для частиц всегда , то , то есть фазовая скорость волны де Бройля даже в вакууме больше скорости света. Этот значит, что монохроматическая волна де Бройля не может переносить частицу или энергию, то есть какую-либо реальную информацию.

В оптике зависимость фазовой скорости электромагнитной волны от частоты называют дисперсией, а среды, где это явление наблюдается, - диспергирующими. Из определения показателя преломления среды следует, что: , а фазовая скорость: . Для разных значений показатель преломления, а значит и фазовая скорость электромагнитной волны, в среде принимают разные значения. При значениях , фазовая скорость превышает скорость света.

Дисперсия электромагнитных волн отсутствует только в вакууме. При этом . Экспериментально обнаружить разность скоростей синего и красного лучей, распространяющихся в вакууме (межзвездной среде), еще в XIX веке пытался французский астроном Ф. Араго по наблюдениям звезды Алголь (β Персея). Однако оказалось, что в межзвездном пространстве отсутствует дисперсия электромагнитных волн.

Нормальной дисперсии соответствует случай, когда: , а . При этом показатель преломления монотонно возрастает с ростом частоты. Эти особенности присущи подавляющему большинству веществ. Однако для некоторых веществ, например, для паров йода и некоторых жидкостей, характерно, что: , , а монотонно убывает с увеличением частоты. Такая дисперсия называется аномальной.

Для некоторых диспергирующих веществ возможна ситуация, когда при определенных частотах фазовые скорости монохроматических электромагнитных волн превышает скорость света. У нас для волн де Бройля в вакууме возникла аналогичная ситуация: фазовая скорость оказалась больше скорости света. Это позволяет сделать вывод, что волны де Бройля даже в вакууме характеризуются дисперсией.

6.1. Пакет волн де Бройля. Итак, как выяснилось, использовать монохроматическую волну для описания движения микрочастицы нельзя. Вообще, понятие монохроматической волны, как и многие физические понятия, является абстрактным. Монохроматическая волна должна иметь бесконечную протяженность в пространстве и во времени. В природе таких волн нет. Реальные волны всегда имеют ограниченную протяженность в пространстве и ограниченную длительность во времени. Волновые образования, занимающие ограниченную область пространства и времени, называются волновыми пакетами. Волновой пакет является результатом сложения многих гармонических волн различных частот.

Попробуем описать движение микрообъекта с помощью пакета волн де Бройля. Результирующая амплитуда волнового пакета отлична от нуля лишь в некоторой ограниченной области пространства, которую можно считать местом расположения частицы. Итак, создадим волновой пакет, то есть суперпозицию плоских монохроматических волн, для которых волновое число меняется в пределах: от до :

.

(6.1.1)

Примем закон дисперсии: . Разложим в ряд по степеням вблизи точки : и ограничимся первыми двумя членами разложения: . Обозначив: , , а , закон дисперсии перепишем в виде: .

Подставим полученный закон дисперсии в выражение для волновой функции, перейдя под знаком интеграла от независимой переменной к новой независимой переменной , одновременно предположив при этом, что является медленной функцией и при малом изменении меняется мало, то есть :

.

(6.1.2)

Окончательно получим:

.

(6.1.3)

Итак, волновой пакет выражается произведением двух сомножителей: монохроматической волны, описываемой функцией , и «огибающей» волны с фазовой скоростью , представленной функцией .

Как ведут себя эти кривые со временем? Синусоида несется со скоростью , превышающей скорость света. Фазовая скорость центральной волны пакета называется фазовой скоростью волнового пакета. Огибающая волна «ползет» со скоростью , называемой групповой скоростью волнового пакета. Итак, волновой пакет характеризуется двумя скоростями: фазовой и групповой. С какой же скоростью передается реальная информация? Фазовая скорость, большая скорости света, не может переносить частицу. Информация о микрочастице будет передаваться со скоростью перемещения огибающей волны, то есть с групповой скоростью волнового пакета. Таким образом, реальный смысл имеет лишь групповая скорость волнового пакета. Найдем ее:

.

(6.1.4)

Мы получили, что групповая скорость волнового пакета, описывающего движущуюся микрочастицу, численно равна механической скорости перемещения частицы ! Этот результат называют первым чудом де Бройля.

6.2. Принцип Гамильтона (оптико-механическая аналогия). Впервые формальное сходство основных положений классической механики и геометрической оптики было выявлено замечательным ирландским математиком, механиком и астрономом сэром Уильямом Роуаном Гамильтоном, знаменитым на весь мир профессором астрономии Дублинского университета. Оно было изложено в работе «Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов некоторой характеристической функции», увидевшей свет в 1834 г. Обнаруженная Гамильтоном оптико-механическая аналогия, без малого сто лет не привлекала к себе практически никакого внимания.

Тема 7

Стационарное уравнение Шредингера

7.1. Уравнение Шредингера (1926г.)

Основное уравнение квантовой механики невозможно вывести из законов классической механики и формулы де Бройля, ибо квантовая механика является более общей теорией. Справедливость уравнения Шредингера доказывается его соответствием громадному фактическому материалу квантовой физики, а также согласованностью с общими физическими представлениями.

Положение, сложившееся в физике накануне появления работы Шредингера, можно назвать отчаянным. «Физика теперь снова зашла в тупик, во всяком случае, для меня, - писал в мае 1925 г. В. Паули, - она стала слишком трудной, и я предпочел бы быть комиком в кино».

Многие ученые догадывались, что волны де Бройля – это решения какого-то неизвестного пока уравнения. Но лишь австрийскому ученому Э. Шредингеру удалось его найти.

Эрвин Шредингер () был не только выдающимся физиком и математиком, он любил поэзию, сам писал стихи, переводил Гомера на английский и провансальских поэтов – на немецкий язык, пробовал силы как скульптор. Его работа «Что такое жизнь (С точки зрения физика) получила всемирную известность.

Воспитанный в духе классической физики, Шредингер с трудом понимал идеи квантовой теории.

В свое время среди физиков ходила эпиграмма на Шредингера, составленная на английском языке Э. Хюккелем:

Erwin with his psi can do

Calculations quite a few,

But one thing has not been seen

Just what does psi really mean?

В переводе на русский эта эпиграмма звучит так: «Эрвин может с помощью своей пси-функции многое вычислить. Одно лишь неясно – что же такое пси-функция?»

Стационарное уравнение Шредингера опубликовано 27 января 1926г. в журнале «Annalen der Physik». 21 июня 1926г. там же было опубликовано временное уравнение Шредингера.

7.2. Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы

Пусть микрочастица массы движется в поле постоянного потенциала вдоль оси , имея энергию . Уравнение Шредингера для этого случая запишем в виде:

.

(7.2.1)

Перепишем это уравнение, обозначив :

.

(7.2.2)

Это - волновое уравнение. Его частными решениями являются функции вида: , где - постоянный коэффициент. Общее решение этого уравнения запишем как суперпозицию частных решений:

.

(7.2.3)

При действительном значении это решение удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на волновую функцию.

Как видим, получение общего решения стационарного уравнения Шредингера для свободной частицы не потребовало каких-либо ограничений на возможные значения энергии частицы, из чего можно сделать вывод, что решение существует при любом значении энергии . Иными словами, энергетический спектр свободной частицы непрерывен.

В отличие от уравнений Ньютона уравнение Шредингера является не просто дифференциальным уравнением, а дифференциальным уравнением в частных производных. Такие уравнения крайне редко имеют аналитическое решение. Поэтому в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом виде до конца.

Тема 8

ОДНОМЕРНЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

8.1. Задача о частице в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Одномерная яма с плоскими стенками, составленная из полей постоянного потенциала (так называемый потенциальный ящик), является простейшим примером потенциальной ямы.

Рис. 1. Потенциальная яма со стенками бесконечной высоты.

Пусть частица массой находится в потенциальном ящике бесконечной глубины. Зависимость потенциальной энергии от координаты изображена на рис. 1. Потенциальное поле в этом случае имеет следующие свойства: 1) при <0 ; 2) при 0< < ; 3) при > .

Итак, координатную ось можно разбить на три области в соответствии со значениями потенциальной энергии в них. Стационарное уравнение Шредингера при этом может быть записано отдельно для каждой из трех выделенных областей:

,	(8.1.1)
,	(8.1.2)
.	(8.1.3)

В уравнениях для первой и третьей областей можно пренебречь энергией частицы , имеющей конечное численное значение, по сравнению с бесконечностью. Тогда эти уравнения приобретут вид: . Очевидно, здесь возможны два случая: а) и б) . Случай а) невозможен, так как первая производная от волновой функции, то есть , должна быть непрерывна. Следовательно, .

Найдем решение для второй области. Обозначив , перепишем уравнение Шредингера для второй области: . Это – волновое уравнение. Общее решение его можно представить в виде: .

Итак, общий вид решения уравнения Шредингера для нашей задачи найден. Проверим выполнение требований, налагаемых на волновую функцию. Условия конечности, однозначности и непрерывности, как самой волновой функции, так и ее первой производной, выполняются автоматически. Осталось потребовать выполнения условия непрерывности волновой функции на границах областей. Это значит, что и .

Из условия на левой границе следует, что . Тогда условие на правой границе приобретает вид: . Коэффициент не может быть равен 0, так как в этом случае волновая функция во второй области будет равна 0 при любом значении , что, учитывая равенство 0 волновых функций в первой и третьей областях, означает отсутствие частицы в потенциальной яме. Напротив, решаемая нами задача предполагает присутствие частицы в яме.

Следовательно, остается предположить, что . Это значит, что , где пробегает значения 0,1,2,…,∞. (Заметим, что отрицательные значения можно не рассматривать, так как они не описывают новое состояние частицы – ведь физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а квадрат ее модуля). Тогда или . Отсюда получаем условие, ограничивающее возможные значения энергии частицы: