Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 7 )

(8.1.4)

Совокупность возможных значений энергии частицы принято называть ее энергетическим спектром. Из полученной формулы видно, что энергетический спектр частицы дискретный, то есть ее энергия принимает лишь вполне определенные значения (квантуется) и зависит только от числа , которое называют квантовым числом. Формулу (8.1.4) называют условием квантования энергии частицы.

Так как при и , а значит, и независимо от значения координаты , что соответствует отсутствию частицы в яме, счет квантового числа следует начинать не с 0, а с 1, то есть: .

Итак, волновая функция, описывающая частицу во второй области, может быть представлена в виде: . Коэффициент можно найти из условия нормировки волновой функции:

.

(8.1.5)

Так как и , условие нормировки можно переписать в виде:

(8.1.6)

или: , откуда следует, что нормировочный множитель (амплитуда волновой функции) . Тогда решение для второй области можно записать в виде:

.

(8.1.7)

Волновые функции взаимно ортогональны и представляют собой стоячие волны.

Рис. 2. Уровни энергии частицы в потенциальном ящике со стенками бесконечной высоты.

Проанализируем полученные результаты.

Согласно условию квантования энергии частицы, расстояния между энергетическими уровнями возрастают с увеличением квантовых чисел и пропорциональны разности их квадратов: . Как видно, расстояние между соседними энергетическими уровнями сильно зависит от ширины потенциальной ямы. Если масштабы потенциального ящика велики и составляют макроскопическую величину, например, , то даже для самых легких частиц – электронов – получаем: =. Тогда расстояние между соседними уровнями . Уровни энергии в этом случае располагаются очень близко друг к другу и образуют квазинепрерывную полосу. Дискретная природа спектра микрочастицы в ящике проявляется только в том случае, когда размеры ящика сравнимы с атомными размерами. Для ящика шириной Å получаем: , откуда: .

Распределение плотности вероятности нахождения частицы в ящике определяется выражением: . Соответствующие кривые показаны на рис. 2. Из рисунка видно, что в самом низком энергетическом состоянии микрочастицы наиболее вероятным местом ее обнаружения является середина потенциального ящика. По мере возрастания энергии частицы число мест ее наивероятнейшего положения растет и равномерно распределяется по ширине ямы.

8.1.1. Обобщение на трехмерный потенциальный ящик бесконечной глубины

Рассмотрим случай трехмерного потенциального ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами и . Потенциальная энергия внутри ямы равна нулю, вне ямы – бесконечности. По-прежнему будем пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. Уравнение Шредингера при этом будет иметь вид:

.

(8.1.1.1)

Компоненты поступательного движения свободной микрочастицы вдоль осей координат независимы. Тогда решение уравнения Шредингера можно представить в виде:

.

(8.1.1.2)

Подставив это решение в уравнение (8.1.1.1) и поделив полученное уравнение на , получим:

.

(8.1.1.3)

Три первых члена в этом уравнении зависят от разных переменных, последнее слагаемое – константа, и все выражение равно 0. Можно разбить это уравнение на три уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной:

,	(8.1.1.4)
,	(8.1.1.5)
.	(8.1.1.6)

Вне пределов ямы и аналогично решению предыдущей задачи можно показать, что в этой области , , . Внутри ящика и уравнения (8.1.1перепишутся в виде:

,	(8.1.1.7)
,	(8.1.1.8)
.	(8.1.1.9)

Здесь выполнено следующее условие: .

Пользуясь найденным ранее решением, решения уравнений (8.1.1можно представить в виде:

, ;	(8.1.1.10)
, ;	(8.1.1.11)
, ,	(8.1.1.12)

где

В результате волновая функция для микрочастицы в трехмерном ящике имеет вид:

.	(8.1.1.13)

Энергия частицы в трехмерной яме определяется выражением:

.	(8.1.1.14)

Итак, волновая функция и энергия частицы в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками определяется набором трех квантовых чисел, что соответствует трем степеням свободы движения частицы. Волновая функция описывает трехмерную стоячую волну. Энергетический спектр частицы дискретный.

8.2. Задача о частице в прямоугольной потенциальной яме со стенками конечной равновеликой высоты

Пусть в потенциальной яме ширины со стенками равновеликой высоты находится микрочастица массы , имеющая энергию < . Поскольку начало отсчета потенциальной энергии выбирается произвольно, будем отсчитывать ее от «дна» ямы.

Разобьем всю область существования волновой функции на три участка в соответствии со значениями потенциальной энергии:

1) < 0, ;

2) 0<< , ;

3) > , .

В соответствии с нумерацией областей введем и нумерацию соответствующих волновых функций.

Запишем уравнение Шредингера для этих трех участков:

;	(8.2.1)
;	(8.2.2)
.	(8.2.3)

Уравнение для второй области является волновым и его общее решение можно записать в виде: , где . Общие решения уравнений для первой и третьей областей будут иметь вид:

;	(8.2.4)
.	(8.2.5)

Здесь .

Выполняя требование конечности волновой функции, мы должны положить, что . Тогда выражения для и получат вид: и . Это значит, что внутри стенок ящика волновые функции затухают экспоненциально.

Полученные нами решения сами по себе удовлетворяют стандартным требованиям, налагаемым на волновую функцию. Осталось лишь потребовать выполнение условий непрерывности самих волновых функций и их первых производных на границах областей, то есть должны быть выполнены следующие равенства: , , , . Распишем их:

,	(8.2.6)
,	(8.2.7)
,	(8.2.8)
.	(8.2.9)

Решив совместно эти уравнения, получим: . Для бесконечно глубокой ямы и . Решением в этом случае будет: , что совпадает с полученным нами ранее решением.

Подставив в наше уравнение выражения для и , получим уравнение, определяющее возможные значения энергии микрочастицы в ящике:

.

(8.2.10)

Обозначив и , перепишем уравнение для энергии в виде:

.

(8.2.11)

где пробегает значения от 0 до 1.

Это уравнение можно решать графически. Его корнями будут точки пересечения семейства тангенсоид и графика степенной функции, стоящей в правой части уравнения. Каждый корень определяет возможное значение энергии частицы. Совокупность всех точек пересечения графиков левой и правой частей уравнения энергии позволяет установить энергетический спектр частицы и зависимость его от массы микрочастицы и параметров потенциальной ямы (ширины и глубины).

График взять из: «Физика твердого тела», стр.33.

8.3. Задача о линейном гармоническом осцилляторе

Одной из наиболее важных моделей, часто используемых в атомной физике, является линейный гармонический осциллятор. Будем называть гармоническим осциллятором частицу, совершающую гармонические колебания. Важность этой модели объясняется еще и тем, что в ряде случаев рассмотрения более сложных систем их движение удается рассматривать как совокупность гармонических колебаний.

Как известно, потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора имеет вид: . Графическое изображение этой зависимости является параболой. Поэтому рассматриваемую задачу мы можем назвать задачей о частице в потенциальной яме параболической формы.

Макроскопический осциллятор, имеющий энергию , колеблется между стенками, оставаясь в пределах отрезка , то есть, не проникая за границы стенок ямы.

Стационарное уравнение Шредингера для квантового линейного гармонического осциллятора имеет вид:

(8.3.1)

Уравнение получилось довольно сложным. Постараемся упростить его. Первым шагом к этому упрощению будет обезразмеривание независимой переменной и параметра уравнения. Перейдем к новой, безразмерной, независимой переменной . Тогда: .

Вместо полной энергии частицы введем новый, безразмерный, параметр - . После несложных преобразований получим уравнение Шредингера в виде:

.

(8.3.2)

Найдем сначала частное (асимптотическое) решение при . Нетрудно убедиться, что в этом случае: . Так как функция должна быть конечна, решение отбрасываем. Окончательно получим: при .

Полное решение уравнения Шредингера будем искать в виде:

.

(8.3.3)

где - некоторая неизвестная функция. Подставив это решение в уравнение (8.3.2), получим уравнение для новой неизвестной функции :

.

(8.3.4)

Решение этого уравнения будем искать в виде:

,

(8.3.5)

тогда: , . Определение теперь сводится к нахождению коэффициентов .

После подстановки функций , и в уравнение (8.3.4) получим:

.

(8.3.6)

Любой член в левой части этого уравнения представляет собой независимую переменную в некоторой степени, умноженную на какой-то численный коэффициент. Тогда, собрав коэффициенты при одинаковых степенях , уравнение (8.3.6) приведем к виду:

.

(8.3.7)

Так как , любой собранный коэффициент при некоторой степени должен быть равен нулю. Соберем, к примеру, коэффициенты при :

,

(8.3.8)

откуда следует, что:

.

(8.3.9)

Мы получили рекуррентную формулу для расчета коэффициентов разложения функции . Она позволяет найти любой коэффициент, если заданы и . (Напомним, что уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и его решение предполагает задание двух произвольных постоянных). Удобно, например, положить, что . Тогда автоматически «занулятся» все нечетные коэффициенты.

Итак, казалось бы, наша задача решена: мы нашли способ расчета коэффициентов в разложении функции . Однако следует проверить сходимость полученного ряда:

,

то есть наш ряд сходится при любых по признаку Даламбера. Выясним, к какой функции он сходится. Для этого вспомним разложение экспоненциальной функции в ряд:

Тогда функцию можно представить в виде:

.

Найдем предел отношения двух соседних коэффициентов в этом ряду:

.

Итак, функция при сходится так же, как . «Хвост» ряда определяет численное значение всей суммы в случае . (При сумма ряда определяется первыми слагаемыми). То есть, можно утверждать, что совпадение «хвостов» рядов и существенно при .

Итак, при . Тогда при , то есть наша волновая функция сходится, однако сходится к «плохой» функции. Этот результат противоречит свойству конечности волновой функции при любом значении аргумента. Мы должны обеспечить безусловное выполнение этого свойства. Бесконечность при стремлении создается «хвостом» ряда . Надо каким-то образом от него избавиться. Вспомним, что мы решаем уравнение Шредингера, в которое входит параметр – полная энергия частицы , вместо которой мы ввели, переходя к безразмерной независимой переменной , новый, безразмерный, параметр . Теперь, обеспечивая конечность волновой функции, мы вынуждены ввести ограничения на возможные численные значения параметра. Если положить, что , то последним членом в ряду будет слагаемое с номером . Таким образом, бесконечный ряд превратился в сумму с конечным числом слагаемых, то есть в полином.

Тогда уравнение для функции можно переписать в виде:

.

(8.3.10)

Это – уравнение Чебышева – Эрмита. Решением его является полином Чебышева – Эрмита. Тогда волновую функцию для линейного гармонического осциллятора можно записать:

.

(8.3.11)

Возможные значения энергии найдем из условия: . Отсюда следует условие квантования энергии линейного гармонического осциллятора:

.

(8.3.12)

Итак, одномерный квантовый гармонический осциллятор обладает дискретным энергетическим спектром. Квантовое число , нумерующее уровни энергии, принимает значения: 0, 1, 2,… Интересно, что при энергия осциллятора не обращается в 0, а принимает значение , которое принято называть «нулевой энергией» осциллятора. Это означает, что квантово-механическая частица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы (как, впрочем, и любой другой ямы конечной ширины).

Как видим, соседние уровни энергии гармонического осциллятора удалены друг от друга на энергию , то есть одинаково. Такая система уровней называется эквидистантной. Далее мы покажем, что переходы возможны только между соседними уровнями энергии, поэтому гармонический осциллятор может излучать (поглощать) энергию только на частоте .

Модель гармонического осциллятора можно использовать для рассмотрения свойств молекул. Атомы, образующие молекулу, могут колебаться друг относительно друга. При небольшой амплитуде этих колебаний молекулы можно рассматривать почти как идеальные гармонические осцилляторы. Колебательный спектр слабовозбужденной молекулы должен состоять всего из одной спектральной линии. Ее частота - . Так как расстояния между колебательными уровнями молекулы сравнительно невелики - , то такие линии можно обнаружить в инфракрасных спектрах поглощения молекул ( от 5000 Å до 50000 Å).

8.4. Задача о туннельном эффекте

(прохождение частицы сквозь потенциальный барьер)

Согласно классической физике частица может находиться только в тех точках пространства, где ее потенциальная энергия меньше полной энергии. Это обусловлено тем, что кинетическая энергия частицы должна быть всегда положительной величиной. Поэтому, если две области пространства, где отделены друг от друга потенциальным барьером, в котором , то, согласно классической физике, проникновение частиц из одной области в другую сквозь потенциальный барьер невозможно.

В квантовой механике нахождение частицы внутри области, где , не приводит к бессмысленному выводу об отрицательной кинетической энергии. В микромире, как следует из соотношения неопределенностей, кинетическая и потенциальная энергии вообще не могут иметь одновременно точных значений, так как кинетическая энергия определяется импульсом, а потенциальная – координатой частицы. Поэтому равенство в микромире справедливо лишь для средних значений этих величин, а также для их операторов.

Рассмотрим простейший случай потенциального барьера – одномерный прямоугольный барьер в виде выступа. Неквантовая картина движения частицы в этом поле такова: частица, двигаясь вдоль оси слева от потенциального барьера, достигает его левой стенки и отражается от нее. Согласно квантовым представлениям, частица, столкнувшись с левой стенкой барьера, действительно может отразиться от нее, но может и проникнуть внутрь барьера, так как волновая функция в области внутри него не равна нулю. Проникнув внутрь барьера слева, частица может покинуть потенциальный барьер, пройдя через правую стенку. Весь этот процесс можно назвать проникновением частицы сквозь потенциальный барьер. Это явление называют туннельным эффектом.