Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 3 )

Распределение плотности вероятности нахождения частицы в ящике определяется выражением: . Соответствующие кривые показаны на рис. 2. Из рисунка видно, что в самом низком энергетическом состоянии микрочастицы наиболее вероятным местом ее обнаружения является середина потенциального ящика. По мере возрастания энергии частицы число мест ее наивероятнейшего положения растет и равномерно распределяется по ширине ямы.

Практическое занятие № 2

Задача о частице в потенциальном ящике

Пусть в потенциальной яме ширины со стенками равновеликой высоты находится микрочастица массы , имеющая энергию < . Поскольку начало отсчета потенциальной энергии выбирается произвольно, будем отсчитывать ее от «дна» ямы.

Разобьем всю область существования волновой функции на три участка в соответствии со значениями потенциальной энергии:

1) < 0, ;

2) 0<< , ;

3) > , .

В соответствии с нумерацией областей введем и нумерацию соответствующих волновых функций.

Запишем уравнение Шредингера для этих трех участков:

;	(8.2.1)
;	(8.2.2)
.	(8.2.3)

Уравнение для второй области является волновым и его общее решение можно записать в виде: , где . Общие решения уравнений для первой и третьей областей будут иметь вид:

;	(8.2.4)
.	(8.2.5)

Здесь .

Выполняя требование конечности волновой функции, мы должны положить, что . Тогда выражения для и получат вид: и . Это значит, что внутри стенок ящика волновые функции затухают экспоненциально.

Полученные нами решения сами по себе удовлетворяют стандартным требованиям, налагаемым на волновую функцию. Осталось лишь потребовать выполнение условий непрерывности самих волновых функций и их первых производных на границах областей, то есть должны быть выполнены следующие равенства: , , , . Распишем их:

,	(8.2.6)
,	(8.2.7)
,	(8.2.8)
.	(8.2.9)

Решив совместно эти уравнения, получим: . Для бесконечно глубокой ямы и . Решением в этом случае будет: , что совпадает с полученным нами ранее решением.

Подставив в наше уравнение выражения для и , получим уравнение, определяющее возможные значения энергии микрочастицы в ящике:

.

(8.2.10)

Обозначив и , перепишем уравнение для энергии в виде:

.

(8.2.11)

где пробегает значения от 0 до 1.

Это уравнение можно решать графически. Его корнями будут точки пересечения семейства тангенсоид и графика степенной функции, стоящей в правой части уравнения. Каждый корень определяет возможное значение энергии частицы. Совокупность всех точек пересечения графиков левой и правой частей уравнения энергии позволяет установить энергетический спектр частицы и зависимость его от массы микрочастицы и параметров потенциальной ямы (ширины и глубины).

Практическое занятие № 3

Задача о гармоническом осцилляторе

Одной из наиболее важных моделей, часто используемых в атомной физике, является линейный гармонический осциллятор. Будем называть гармоническим осциллятором частицу, совершающую гармонические колебания. Важность этой модели объясняется еще и тем, что в ряде случаев рассмотрения более сложных систем их движение удается рассматривать как совокупность гармонических колебаний.

Как известно, потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора имеет вид: . Графическое изображение этой зависимости является параболой. Поэтому рассматриваемую задачу мы можем назвать задачей о частице в потенциальной яме параболической формы.

Макроскопический осциллятор, имеющий энергию , колеблется между стенками, оставаясь в пределах отрезка , то есть, не проникая за границы стенок ямы.

Стационарное уравнение Шредингера для квантового линейного гармонического осциллятора имеет вид:

(8.3.1)

Уравнение получилось довольно сложным. Постараемся упростить его. Первым шагом к этому упрощению будет обезразмеривание независимой переменной и параметра уравнения. Перейдем к новой, безразмерной, независимой переменной . Тогда: .

Вместо полной энергии частицы введем новый, безразмерный, параметр - . После несложных преобразований получим уравнение Шредингера в виде:

.

(8.3.2)

Найдем сначала частное (асимптотическое) решение при . Нетрудно убедиться, что в этом случае: . Так как функция должна быть конечна, решение отбрасываем. Окончательно получим: при .

Полное решение уравнения Шредингера будем искать в виде:

.

(8.3.3)

где - некоторая неизвестная функция. Подставив это решение в уравнение (8.3.2), получим уравнение для новой неизвестной функции :

.

(8.3.4)

Решение этого уравнения будем искать в виде:

,

(8.3.5)

тогда: , . Определение теперь сводится к нахождению коэффициентов .

После подстановки функций , и в уравнение (8.3.4) получим:

.

(8.3.6)

Любой член в левой части этого уравнения представляет собой независимую переменную в некоторой степени, умноженную на какой-то численный коэффициент. Тогда, собрав коэффициенты при одинаковых степенях , уравнение (8.3.6) приведем к виду:

.

(8.3.7)

Так как , любой собранный коэффициент при некоторой степени должен быть равен нулю. Соберем, к примеру, коэффициенты при :

,

(8.3.8)

откуда следует, что:

.

(8.3.9)

Мы получили рекуррентную формулу для расчета коэффициентов разложения функции . Она позволяет найти любой коэффициент, если заданы и . (Напомним, что уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и его решение предполагает задание двух произвольных постоянных). Удобно, например, положить, что . Тогда автоматически «занулятся» все нечетные коэффициенты.

Итак, казалось бы, наша задача решена: мы нашли способ расчета коэффициентов в разложении функции . Однако следует проверить сходимость полученного ряда:

,

то есть наш ряд сходится при любых по признаку Даламбера. Выясним, к какой функции он сходится. Для этого вспомним разложение экспоненциальной функции в ряд:

Тогда функцию можно представить в виде:

.

Найдем предел отношения двух соседних коэффициентов в этом ряду:

.

Итак, функция при сходится так же, как . «Хвост» ряда определяет численное значение всей суммы в случае . (При сумма ряда определяется первыми слагаемыми). То есть, можно утверждать, что совпадение «хвостов» рядов и существенно при .

Итак, при . Тогда при , то есть наша волновая функция сходится, однако сходится к «плохой» функции. Этот результат противоречит свойству конечности волновой функции при любом значении аргумента. Мы должны обеспечить безусловное выполнение этого свойства. Бесконечность при стремлении создается «хвостом» ряда . Надо каким-то образом от него избавиться. Вспомним, что мы решаем уравнение Шредингера, в которое входит параметр – полная энергия частицы , вместо которой мы ввели, переходя к безразмерной независимой переменной , новый, безразмерный, параметр . Теперь, обеспечивая конечность волновой функции, мы вынуждены ввести ограничения на возможные численные значения параметра. Если положить, что , то последним членом в ряду будет слагаемое с номером . Таким образом, бесконечный ряд превратился в сумму с конечным числом слагаемых, то есть в полином.

Тогда уравнение для функции можно переписать в виде:

.

(8.3.10)

Это – уравнение Чебышева – Эрмита. Решением его является полином Чебышева – Эрмита. Тогда волновую функцию для линейного гармонического осциллятора можно записать:

.

(8.3.11)

Возможные значения энергии найдем из условия: . Отсюда следует условие квантования энергии линейного гармонического осциллятора:

.

(8.3.12)

Итак, одномерный квантовый гармонический осциллятор обладает дискретным энергетическим спектром. Квантовое число , нумерующее уровни энергии, принимает значения: 0, 1, 2,… Интересно, что при энергия осциллятора не обращается в 0, а принимает значение , которое принято называть «нулевой энергией» осциллятора. Это означает, что квантово-механическая частица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы (как, впрочем, и любой другой ямы конечной ширины).

Как видим, соседние уровни энергии гармонического осциллятора удалены друг от друга на энергию , то есть одинаково. Такая система уровней называется эквидистантной. Далее мы покажем, что переходы возможны только между соседними уровнями энергии, поэтому гармонический осциллятор может излучать (поглощать) энергию только на частоте .

Модель гармонического осциллятора можно использовать для рассмотрения свойств молекул. Атомы, образующие молекулу, могут колебаться друг относительно друга. При небольшой амплитуде этих колебаний молекулы можно рассматривать почти как идеальные гармонические осцилляторы. Колебательный спектр слабовозбужденной молекулы должен состоять всего из одной спектральной линии. Ее частота - . Так как расстояния между колебательными уровнями молекулы сравнительно невелики - , то такие линии можно обнаружить в инфракрасных спектрах поглощения молекул ( от 5000 Å до 50000 Å).

Практическое занятие № 4

Задача о туннельном эффекте

Рассмотрим простейший случай потенциального барьера – одномерный прямоугольный барьер в виде выступа. Неквантовая картина движения частицы в этом поле такова: частица, двигаясь вдоль оси слева от потенциального барьера, достигает его левой стенки и отражается от нее. Согласно квантовым представлениям, частица, столкнувшись с левой стенкой барьера, действительно может отразиться от нее, но может и проникнуть внутрь барьера, так как волновая функция в области внутри него не равна нулю. Проникнув внутрь барьера слева, частица может покинуть потенциальный барьер, пройдя через правую стенку. Весь этот процесс можно назвать проникновением частицы сквозь потенциальный барьер. Это явление называют туннельным эффектом.

В соответствии с величиной потенциальной энергии разобьем ось на три области: I) ; II) ; III) . В первой и третьей областях , во второй - . Пусть микрочастица движется в первой области вдоль оси , имея энергию . Оценим вероятность обнаружения этой микрочастицы в третьей области.

Для каждой из областей запишем уравнение Шредингера:

;	(8.4.1)
;	(8.4.2)
.	(8.4.3)

Перепишем эти уравнения, введя обозначения:

,
;	(8.4.5)
.	(8.4.6)

Частными решениями уравнений для первой области являются гармонические волны, распространяющиеся как вдоль оси (падающая на барьер волна), так и против нее (отраженная от левой стенки барьера волна). В третьей области может присутствовать лишь волна, идущая вдоль оси , так как отраженной волны здесь не будет. Частными решениями для второй области будут спадающая и возрастающая внутри барьера экспоненты. Тогда общие решения уравнений Шредингера для всех трех областей можно записать:

,	(8.4.7)
,	(8.4.8)
.	(8.4.9)

Нас интересует вероятность туннельного эффекта (вероятность преодоления частицей потенциального барьера). Ее можно характеризовать коэффициентом прозрачности или проницаемостью потенциального барьера. Он представляет собой отношение числа частиц, преодолевших потенциальный барьер, к полному числу частиц, подошедших слева к барьеру. Это отношение можно найти как отношение модулей плотности потоков прошедших и упавших на барьер частиц:

.

(8.4.10)

Учитывая, что плотность потока частиц пропорциональна квадрату амплитуды волны, выражение для коэффициента прозрачности потенциального барьера можно переписать:

.

(8.4.11)

Итак, наша задача свелась к выяснению связи между коэффициентами и . Воспользуемся для этого граничными условиями в точках и , то есть потребуем выполнения условий непрерывности самих волновых функций и их первых производных на границах областей. Граничные условия запишутся так:

,	(8.4.12)
	(8.4.13)
	(8.4.14)
	(8.4.15)

Из двух последних уравнений, обозначив , получим выражения для коэффициентов и :

	(8.4.16)
	(8.4.17)

Поскольку и , то . Поэтому можно положить, что , то есть волновая функция не может возрастать внутри потенциального барьера.

Выразим через : . Тогда коэффициент прозрачности потенциального барьера определится так:

.

(8.4.18)

.

Вводя величину , получим:

.

(8.4.19)

Коэффициент прозрачности потенциального барьера не очень мал, когда:

.

(8.4.20)

При значении коэффициент прозрачности барьера, к примеру, для электрона, отличен от нуля при . В макроскопических ящиках туннельный эффект не играет существенной роли.

Потенциальный барьер произвольной формы можно приближенно представить в виде последовательности потенциальных барьеров прямоугольной формы. Количество частиц, проникающих сквозь некоторый прямоугольный барьер, равно количеству частиц, падающих на следующий прямоугольный барьер, и т. д. Поэтому коэффициент прозрачности потенциального барьера произвольной формы приближенно определяется как произведение коэффициентов прозрачности барьеров прямоугольной формы. Численный множитель , стоящий в выражении (8.4.20) при экспоненте, в случае плавной зависимости потенциальной энергии от расстояния меняется медленно. Следовательно, в случае потенциального барьера произвольной формы коэффициент прозрачности можно произвольно представить в виде:

,

(8.4.21)

где координаты (начало барьера) и (конец барьера) определяются из условия: .

Прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер может показаться парадоксальным: частица, находясь внутри потенциального барьера высотой и имея полную энергию , должна иметь отрицательную кинетическую энергию .

Рис.4. Потенциальный барьер произвольной формы.

В действительности, никакого противоречия здесь нет, а сам вывод об отрицательности кинетической энергии неверен. Дело в том, что подобные рассуждения имеют смысл лишь в рамках классической физики, описывающей окружающий нас макроскопический мир, доступный непосредственному восприятию. Явления же, происходящие в микромире зачастую совершенно лишены наглядности. Это происходит, если они не имеют аналогов в макромире. Считать, что формулы и закономерности, присущие макромиру, выполняются и в микромире, вообще говоря, неверно. Так, в микромире частица не может одновременно иметь и точное значение координаты и точное значение импульса , так как обязательно должно выполняться соотношение неопределенностей Гейзенберга: . Это значит, что микрочастиц не может одновременно иметь точные значения и кинетической и потенциальной энергии. Иными словами, в микромире .

Как известно, формальный переход от квантовой физики к классической сопровождается предположением о пренебрежимо малом численном значении константы . Как следует из (8.4.21), при проницаемость потенциального барьера , то есть преодоление частицей потенциального барьера в макромире становится невозможным. Отсюда можно сделать вывод о том, что туннельный эффект – явление сугубо микроскопическое и не имеющее аналогов в окружающем нас макроскопическом мире.