Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 8 )

В соответствии с величиной потенциальной энергии разобьем ось на три области: I) ; II) ; III) . В первой и третьей областях , во второй - . Пусть микрочастица движется в первой области вдоль оси , имея энергию . Оценим вероятность обнаружения этой микрочастицы в третьей области.

Для каждой из областей запишем уравнение Шредингера:

;	(8.4.1)
;	(8.4.2)
.	(8.4.3)

Перепишем эти уравнения, введя обозначения:

,
;	(8.4.5)
.	(8.4.6)

Частными решениями уравнений для первой области являются гармонические волны, распространяющиеся как вдоль оси (падающая на барьер волна), так и против нее (отраженная от левой стенки барьера волна). В третьей области может присутствовать лишь волна, идущая вдоль оси , так как отраженной волны здесь не будет. Частными решениями для второй области будут спадающая и возрастающая внутри барьера экспоненты. Тогда общие решения уравнений Шредингера для всех трех областей можно записать:

,	(8.4.7)
,	(8.4.8)
.	(8.4.9)

Нас интересует вероятность туннельного эффекта (вероятность преодоления частицей потенциального барьера). Ее можно характеризовать коэффициентом прозрачности или проницаемостью потенциального барьера. Он представляет собой отношение числа частиц, преодолевших потенциальный барьер, к полному числу частиц, подошедших слева к барьеру. Это отношение можно найти как отношение модулей плотности потоков прошедших и упавших на барьер частиц:

.

(8.4.10)

Учитывая, что плотность потока частиц пропорциональна квадрату амплитуды волны, выражение для коэффициента прозрачности потенциального барьера можно переписать:

.

(8.4.11)

Итак, наша задача свелась к выяснению связи между коэффициентами и . Воспользуемся для этого граничными условиями в точках и , то есть потребуем выполнения условий непрерывности самих волновых функций и их первых производных на границах областей. Граничные условия запишутся так:

,	(8.4.12)
	(8.4.13)
	(8.4.14)
	(8.4.15)

Из двух последних уравнений, обозначив , получим выражения для коэффициентов и :

	(8.4.16)
	(8.4.17)

Поскольку и , то . Поэтому можно положить, что , то есть волновая функция не может возрастать внутри потенциального барьера.

Выразим через : . Тогда коэффициент прозрачности потенциального барьера определится так:

.

(8.4.18)

.

Вводя величину , получим:

.

(8.4.19)

Коэффициент прозрачности потенциального барьера не очень мал, когда:

.

(8.4.20)

При значении коэффициент прозрачности барьера, к примеру, для электрона, отличен от нуля при . В макроскопических ящиках туннельный эффект не играет существенной роли.

Потенциальный барьер произвольной формы можно приближенно представить в виде последовательности потенциальных барьеров прямоугольной формы. Количество частиц, проникающих сквозь некоторый прямоугольный барьер, равно количеству частиц, падающих на следующий прямоугольный барьер, и т. д. Поэтому коэффициент прозрачности потенциального барьера произвольной формы приближенно определяется как произведение коэффициентов прозрачности барьеров прямоугольной формы. Численный множитель , стоящий в выражении (8.4.20) при экспоненте, в случае плавной зависимости потенциальной энергии от расстояния меняется медленно. Следовательно, в случае потенциального барьера произвольной формы коэффициент прозрачности можно произвольно представить в виде:

,

(8.4.21)

где координаты (начало барьера) и (конец барьера) определяются из условия: .

Прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер может показаться парадоксальным: частица, находясь внутри потенциального барьера высотой и имея полную энергию , должна иметь отрицательную кинетическую энергию .

Рис.4. Потенциальный барьер произвольной формы.

В действительности, никакого противоречия здесь нет, а сам вывод об отрицательности кинетической энергии неверен. Дело в том, что подобные рассуждения имеют смысл лишь в рамках классической физики, описывающей окружающий нас макроскопический мир, доступный непосредственному восприятию. Явления же, происходящие в микромире зачастую совершенно лишены наглядности. Это происходит, если они не имеют аналогов в макромире. Считать, что формулы и закономерности, присущие макромиру, выполняются и в микромире, вообще говоря, неверно. Так, в микромире частица не может одновременно иметь и точное значение координаты и точное значение импульса , так как обязательно должно выполняться соотношение неопределенностей Гейзенберга: . Это значит, что микрочастиц не может одновременно иметь точные значения и кинетической и потенциальной энергии. Иными словами, в микромире .

Как известно, формальный переход от квантовой физики к классической сопровождается предположением о пренебрежимо малом численном значении константы . Как следует из (8.4.21), при проницаемость потенциального барьера , то есть преодоление частицей потенциального барьера в макромире становится невозможным. Отсюда можно сделать вывод о том, что туннельный эффект – явление сугубо микроскопическое и не имеющее аналогов в окружающем нас макроскопическом мире.

Теория туннельного эффекта имеет ряд важных применений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось объяснить ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в рамках классической физики. К таким явлениям можно отнести холодную эмиссию металлов (вырывание электронов из металла под действием электрического поля), а также возникновение контактной разности потенциалов. Благодаря туннельному эффекту происходит - распад атомных ядер. За счет туннельного эффекта идут термоядерные реакции в недрах Солнца и звезд.

8.5. Задача о холодной эмиссии электронов из металла

8.6. Задача об - распаде ядер

Радиоактивный - распад, открытый в 1896 г. А. Беккерелем, представляет собой явление самопроизвольного испускания тяжелыми атомными ядрами - частиц, то есть ядер атомов гелия. Эту ядерную реакцию можно записать так:

(8.6.1)

- частицы образуются в тяжелых атомных ядрах задолго до момента их вылета. Это связано с тем, что ядро гелия является дважды магическим, то есть в нем первая протонная и первая нейтронная энергетические оболочки являются целиком заполненными. В результате - частица, имея удельную энергию связи 7 Мэв/нуклон, обладает высокой прочностью. Тяжелые же атомные ядра имеют меньшие значения удельной энергии связи, так как в них значительную роль играет кулоновское отталкивание протонов друг от друга, стремящееся развалить ядро.

Если в многонуклонном ядре, характеризующемся удельной энергией связи, меньшей, чем 7 Мэв/нуклон, в процессе движений нуклонов два протона и два нейтрона случайно сблизятся и образуют - частицу, то это образование будет устойчивой самостоятельной частицей и в дальнейшем в этом ядре уже не распадется на нуклоны.

- частица, стремящаяся покинуть ядро, подвержена кулоновскому отталкиванию со стороны протонов ядра, характеризуемому потенциальной энергией . Тут - заряд ядра, а - расстояние от ядра до - частицы. Кулоновское отталкивание тем сильнее, чем меньше . Однако вблизи ядра потенциальная энергия должна иметь минимум. Следовательно, на очень малых расстояниях помимо кулоновского отталкивания, должна действовать некая мощная сила притяжения, обладающая весьма малым радиусом действия. Такой силой является ядерная или сильная сила притяжения, действующая между нуклонами. В результате на малых расстояниях от ядра силы кулоновского отталкивания сменяются силами сильного (ядерного) притяжения, то есть на границе ядра существует потенциальный барьер сложной формы, называемый иногда кратером. При наличии таких сил - частица, находящаяся в области , то есть в поле сил притяжения, будет длительное время удерживаться внутри ядра. Иными словами, - частица формируется в тяжелом атомном ядре задолго до момента вылета.

Долгое время механизм - распада был неизвестен. Еще Кельвин предполагал, что частицы, испускаемые радиоактивным элементом, как бы «кипят» внутри потенциальной ямы. Время от времени одна из частиц, получая избыток энергии над средней, покидает ядро, ускоряясь в кулоновском поле отталкивания. Это объяснение - распада было отвергнуто в результате опытов Резерфорда.

Резерфорд бомбардировал ядра урана - частицами с энергией 8 Мэв, полученными при радиоактивном распаде тория. Эти энергичные частицы, преодолевая кулоновское отталкивание, могут подойти на расстояние к ядру урана. Экспериментальное подтверждение этих данных говорит о том, что ядерные силы начинают действовать на - частицу на расстояниях меньших, нежели . Следовательно, находящиеся в ядре урана - частицы содержатся внутри области радиусом меньше .

Но уран сам является радиоактивным элементом и испускает - частицы. Их энергия была измерена опытным путем и составляет 4 Мэв. При этом частицы вылетают из области размером гораздо меньше . Покинувшие ядро частицы, ускоряясь кулоновским полем ядра, должны приобрести энергию, по крайней мере, превышающую энергию кулоновского отталкивания на расстоянии от центра ядра. Или они должны вылетать из области размером порядка . С позиций классической физики здесь могут реализоваться две возможности: либо кулоновское отталкивание действует только на - частицы, приближающиеся к ядру, и не действует на частицы, испускаемые ядром, либо при - распаде не выполняется закон сохранения энергии.

Из экспериментов известно, что испускаемые при распаде тяжелых ядер - частицы имеют энергии в пределах от 2 до 9 Мэв, в то время как высота потенциального барьера на границе атомного ядра, близка к и составляет 20-30 Мэв.

В 1928 г. - распад атомных ядер был объяснен практически одновременно русским физиком Георгием Антоновичем Гамовым () и американскими учеными Рональдом Уилфридом Герни () и Эдвардом Кондоном (). Оказалось, что процесс идет за счет туннельного эффекта.

Даже в микромире туннельный эффект – крайне маловероятное событие. Частицы извне не могут проникнуть внутрь ядра, так как они находятся вблизи ядра весьма короткое время и из-за этого прозрачность барьера для них очень мала. Частица же, находящаяся в ядре, проводит вблизи границы ядра значительно большее время. При этом вероятность ее просачивания сквозь барьер изнутри значительно выше, чем снаружи, хотя эта вероятность все - равно ничтожно мала, что и объясняет большие значения периодов - распада.

Получим выражение для константы радиоактивного распада . Напомним, что эта константа определяет вероятность радиоактивного распада одного ядра в единицу времени и входит в формулу закона радиоактивного распада:

.

(8.6.2)

Если - время движения - частицы от одной «стенки» ядра до другой, а - вероятность «просачивания» подошедшей к границе ядра изнутри частицы сквозь потенциальный барьер, то постоянную распада можно записать так: . Если барьер имеет сложную форму, то коэффициент прозрачности определяется выражением:

(8.6.3)

При этом постоянная радиоактивного распада определяется выражением:

(8.6.4)

Внешняя граница потенциального барьера найдена из условия: . Тогда:

(8.6.5)

Преобразуем интеграл, стоящий в показателе степени экспоненты:

.

(8.6.6)

Заменив переменную на , получим:

.

(8.6.7)

Положив, что , вычислим интеграл:

,

(8.6.8)

где определяется выражением: .

Воспользуемся тем, что и разложим и в ряд по степеням , ограничившись первыми членами разложения. Тогда получим:

.

(8.6.9)

Здесь - скорость - частицы вдали от ядра. Тогда постоянная распада равна:

,	(8.6.10)
.	(8.6.11)

Итак, константа распада связана со скоростью вылета - частицы . Эта связь впервые была обнаружена экспериментально и носит название закон Гейгера - Неттола. Константа распада также зависит от и . Пользуясь формулой Гейгера - Неттола, можно оценивать размеры - активных ядер, если из экспериментов известно численное значение . Оказывается, размеры - активных ядер варьируются в пределах от до см. Различие численных значений для разных ядер объясняются, прежде всего, различием энергий вылетающих частиц.

Тема 9

Математический аппарат квантовой механики

Жестокая необходимость, а не спекуляция или желание новизны, вынуждает нас изменять старые классические взгляды.

(А. Эйнштейн)

Одним из важных понятий механики, как квантовой, так и классической, являются понятия состояния и динамической переменной.

К динамическим переменным относятся: координата, импульс, момент импульса, энергия.

Состояние системы, имеющей степеней свободы, в классической механике определяется заданием динамических переменных ( обобщенных координат: и обобщенных импульсов: ).

В квантовой механике одновременное задание точных численных значений переменных невозможно из-за соотношения неопределенностей. Поэтому для описания состояния квантовой системы используют вдвое меньший набор величин: или одни только обобщенные координаты, или только обобщенные импульсы, или их комбинации, но числом , а не .

В то время как, в классической физике состояние физической системы задается набором динамических переменных, в квантовой механике состояние микрообъекта определяется волновой функцией, позволяющей рассчитать лишь средние значения динамических переменных, а также вероятности тех или иных конкретных численных значений. Это обусловлено не тем, что точные значения существуют, но используемые приборы, в силу своего несовершенства, не позволяют произвести точные измерения, а тем, что точные значения двух динамических переменных могут просто не существовать одновременно. Причиной этого является неприменимость физических понятий, заимствованных из классической физики, по отношению к микрочастицам.

Квантовая механика – это новая система точных законов природы, Среди них одним из наиболее фундаментальных является принцип суперпозиции состояний.

9.1. Принцип суперпозиции состояний

В классической физике существует принцип суперпозиции волн: если в какую-то точку пространства в момент времени приходит две волны, вызывающих возмущения и , то результирующее возмущение будет:

.

(9.1.1)

Тогда интенсивность результирующей волны:

.

(9.1.2)

Здесь первое слагаемое в правой части – интенсивность первой волны в точке в момент , второе слагаемое – интенсивность второй волны. Последнее же слагаемое – интерференционный член, описывающий наблюдаемую сложную картину интерференции. Иллюстрацией рассмотренного явления может быть интерференция волн, например, световых, проходящих на экран сквозь непрозрачную ширму двумя щелями (опыт Т. Юнга).

Однако, явление интерференции присуще не только классическим волнам, но и микрочастицам. Как в этом случае осуществляется принцип суперпозиции?

Для выяснения этого вопроса рассмотрим опыт с интерференцией электронов на двух щелях.

Пусть пучок электронов падает на экран сквозь ширму с двумя щелями. Состояние электрона на экране будем описывать волновой функцией . Закроем мысленно щель 2 и рассмотрим только те электроны, которые попадают на экран сквозь щель 1. Состояние электрона на экране в этом случае обозначим . Состояние электрона, прошедшего на экран сквозь вторую щель при закрытой первой, обозначим .

Принцип суперпозиции состояний: Если квантовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , то она может находиться и в состоянии , определяемом как их произвольная линейная комбинация.

Тема 10

ОСНОВЫ квантовомеханической ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

10.1. Постановка задачи о возмущении

На практике решение задачи о нахождении собственных функций и собственных значений оператора очень редко удается найти в виде аналитических функций. Число таких простых задач весьма ограничено. В большинстве случаев решение не представимо с помощью известных в математике функций. В этой связи важно рассмотреть обширный класс случаев, когда решаемая сложная задача может быть приближенно сведена к задаче о более простой физической системе, для которой собственные значения энергии и собственные функции известны. Такая возможность предоставляется тогда, когда оператор энергии рассматриваемой квантовомеханической системы не сильно отличается от оператора более простой системы.

Примером подобной задачи может быть задача об атоме, находящемся во внешнем электрическом поле. Допустим, нам известны волновые функции и уровни энергии электронов в атоме в отсутствии внешних полей. Мы хотим выяснить, как изменяются волновые функции и собственные значения энергии при помещении атома во внешнее электрическое поле. Когда внешнее электрическое поле значительно слабее внутриатомного, действие внешнего поля на атом можно рассматривать как малую поправку, или как возмущение.

Какое-либо воздействие на систему можно считать возмущением, когда энергия этого воздействия значительно меньше энергии системы в отсутствии внешнего возмущения.

Будем считать возмущение стационарным. Пусть - оператор энергии возмущения. Как известно, соотношения, справедливые между физическими величинами в макромире, в микромире выполняются для их операторов. Тогда:

(10.1.1)

Считаем, что решения уравнения Шредингера для невозмущенной системы нам известно:

.

(10.1.2)

Наша же задача сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора :