Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 2 )

3.  Эффект Комптона. Некогерентное рассеяние света. Теория эффекта Комптона. Комптоновское смещение длины волны и его связь с углом рассеяния. Комптоновская длина волны электрона.

4.  Теплоемкость твердого тела. Закон Дюлонга и Пти. Квантовая теория теплоемкости твердого тела.

5.  Модели атомов. Атом Томсона. Теория и недостатки модели. Линейчатый характер атомных спектров. Формула Бальмера. Опыты Резерфорда. Атом Резерфорда. Недостатки модели Резерфорда. Комбинационный принцип Ридберга-Ритца.

6.  Постулаты Бора. Атом Бора-Резерфорда. Достоинства и недостатки Бора-Резерфорда.

7.  Гипотеза Луи де-Бройля о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц. Волны Де-Бройля. Фазовая и волновая скорости пакета волн де-Бройля. Интерпретации волн де-Бройля по Шредингеру и Борну. Опыты Дэвиссона и Джермера.

8.  Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Мысленные эксперименты, подтверждающие соотношение неопределенностей (не менее трех).

9.  Стационарное уравнение Шредингера для частицы во внешнем потенциальном поле и для свободной частицы. Свойства волновой функции.

10.  Задача о частице в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.

11.  Задача о частице в одномерной потенциальной яме со стенками конечной высоты.

12.  Задача о линейном гармоническом осцилляторе. Свойства полиномов Чебышева-Эрмита.

13.  Задача о туннельном эффекте. Коэффициент прозрачности потенциального барьера. Туннельный эффект в природе.

14.  Принцип суперпозиции состояний. Опыты Сушкина и Фабриканта. Изображение физических величин линейными самосопряженными операторами.

15.  Операторы полной и кинетической энергии, импульса и момента импульса. Собственные функции и собственные значения операторов импульса и момента импульса. Магнитное квантовое число.

16.  Средние значения физических величин и вероятности их конкретных значений.

17.  Коммутаторы операторов. Соотношения коммутативности. Вывод соотношения неопределенностей для координаты и импульса.

18.  Временное уравнение Шредингера. Плотность тока вероятности. Принцип причинности в квантовой механике.

19.  Производная от оператора по времени. Интегралы движения в квантовой механике.

20.  Теоремы Эренфеста. Классическая механика как предельный случай квантовой.

2-й коллоквиум

1 .  Полиномы Лежандра: формула Родрига; нули полиномов Лежандра; ортогональность и нормировка; дифференциальное уравнение Лежандра. Присоединенные полиномы Лежандра: присоединенное дифференциальное уравнение Лежандра; ортогональность и нормировка присоединенных функций Лежандра.

2 .  Оператор Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.

3 .  Шаровые и сферические функции.

4 .  Полиномы Чебышева-Эрмита: ортогональность и нормировка; дифференциальное уравнение Эрмита; краевая задача для полиномов и функции Чебышева-Эрмита.

5 .  Полиномы Чебышева-Лагерра: ортогональность и нормировка; присоединенные полиномы Чебышева-Лагерра; дифференциальное уравнение Лагерра; краевая задача для полиномов и функции Чебышева-Лагерра.

6 .  Движение микрочастицы в центрально-симметричном поле. Коммутативность операторов проекций момента импульса. Законы сохранения для этого случая.

7 .  Задача о пространственном ротаторе. Условие квантования орбитального механического момента. Свойства присоединенных полиномов Лежандра.

8 .  Асимптотическое и точное решение радиальной части уравнения Шредингера для электрона в водородоподобном атоме. Свойства обобщенных полиномов Лагерра.

9 .  Кратность вырождения уровней энергии водородоподобного атома. Заполнение электронных оболочек и периодическая система элементов .

10 .  Радиальная и угловая плотности электронного облака в водородоподобном атоме.

11 .  Движение валентного электрона в атоме щелочного металла.

12 .  Орбитальный магнитный момент атома. Магнетон Бора. Условие квантования орбитального магнитного момента.

13 .  Различные представления волновой функции. Переход от одного представления к другому. Матричное представление операторов физических величин.

14 .  Постановка задачи о возмущении. Уравнение Шредингера для возмущенной системы.

15 .  Теория стационарного возмущения при отсутствии вырождения. Решение задачи методом малого параметра.

16 .  Теория стационарного возмущения при наличии вырождения. "Вековое" уравнение. Снятие вырождения.

17 .  Изотопический сдвиг уровней водородоподобного атома.

18 .  Теория вынужденных квантовых переходов.

19 .  Теория вынужденных квантовых переходов под действием света (электродипольные переходы).

20 .  Элементы теории теплового излучения. Коэффициенты Эйнштейна для спонтанных и вынужденных квантовых переходов. Интенсивность спектральной линии.

21 .  Соотношение неопределенностей для энергии и времени. Естественная ширина спектральной линии. Другие механизмы уширения спектральных линий.

22 .  Правила отбора для гармонического осциллятора и для оптического электрона в атоме.

23 .  Экспериментальные доказательства существования спина у электрона: опыты Штерна и Герлаха, Эйнштейна и де-Гааза. Критика представления спина как осевого вращения частицы.

24 .  Операторы проекций спинового механического момента, их собственные функции.

25 .  Уравнение Паули. Водородоподобный атом в однородном магнитном поле (эффект Зеемана).

3.3.1.3. Тематика домашних контрольных работ

1. Задачи о частице в одномерной потенциальной яме со стенками разновеликой высоты.

2. Задачи о преодолении частицей одномерного потенциального барьера.

3. Квантовомеханические операторы.

4. Модель атома Бора-Резерфорда.

3.3.1.4. Образцы аудиторных контрольных работ

Вариант 1

1)  Пусть - некоторые линейные операторы. Доказать соотношение .

2)  Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующую проекцию на ось : .

3)  Частица находится в основном состоянии линейного гармонического осциллятора. Найти вероятность пребывания этой частицы в области, запрещенной для классического движения.

4)  Записать кулоновский потенциал в импульсном представлении.

5)  Доказать рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра: , где

6)  В -представлении найти матричные элементы координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

Вариант 2

1.  Найти операторы, эрмитово сопряженные следующим операторам: а) ; б) ; в) ; г) .

2.  Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующую проекцию на ось : .

3.  Вычислить средние значения потенциальной и кинетической энергий в -м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.

4.  Показать, что все точки непрерывного спектра при движении частицы в одномерной прямоугольной яме с одной бесконечно высокой стенкой не вырождены.

5.  Функцию разложить в ряд по полиномам Лежандра.

6.  В представлении собственных функций гамильтониана линейного гармонического осциллятора построить матрицы операторов и , где .

Вариант 3

1.  Показать, что коммутатор любых двух эрмитовых операторов и всегда может быть представлен в виде: .

2.  Частица движется в сферически симметричном поле. Из приведенных ниже физических величин выбрать интегралы движения: .

3.  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, совершающей линейные гармонические колебания (стационарные состояния).

4.  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

5.  Функцию разложить в ряд по нормированным сферическим функциям.

6.  Используя явный вид оператора , найти в - представлении волновую функцию основного состояния линейного гармонического осциллятора.

Вариант 4

1.  Показать, что произведение двух эрмитовых операторов и всегда можно представлен в виде: , где - эрмитов оператор, а удовлетворяет соотношению . Найти и .

2.  Показать, что нормировка волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, не изменяется со временем.

3.  Найти энергетический спектр системы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых есть , где - некоторая константа, а и - координаты осцилляторов.

4.  Оценить вероятность пребывания частицы с массой внутри и вне одномерной прямоугольной яме конечной глубины , если ширина ямы удовлетворяет соотношению: .

5.  Найти полиномы Чебышнва-Эрмита и .

6.  Используя явный вид оператора , найти в - представлении волновых функций и первого и второго возбужденных состояний линейного гармонического осциллятора.

Вариант 5

1.  Доказать перестановочное соотношение: .

2.  Показать, что операторы скорости и ускорения частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией , могут быть представлены в виде: и , где - масса частицы.

3.  Линейный гармонический осциллятор находится при в состоянии . Вычислить .

4.  Получить приближенное выражение для энергии связи частицы с массой в одномерной прямоугольной яме конечной глубины , если ширина ямы удовлетворяет соотношению: .

5.  Вычислить нормированные функции Чебышева-Эрмита для .

6.  Найти вещественные собственные функции оператора . Построить матрицы преобразования, связывающего эти функции с собственными функциями оператора

Вариант 6

1.  Доказать соотношение перестановки: .

2.  Показать, что гамильтониан свободной частицы в сферических координатах имеет вид: , где , где - масса частицы.

3.  Найти среднее значение и дисперсию энергии свободной частицы в состоянии , где .

4.  Записать волновую функцию свободной частицы в импульсном представлении.

5.  Найти полиномы Чебышева-Лагерра , .

6.  Найти средние значения величин и для гармонического осциллятора с энергией при .

Вариант 7

1.  Доказать перестановочное соотношение: .

2.  Частица находится в состоянии, описываемом в сферических координатах функцией , где - некоторая квадратично интегрируемая функция. Найти распределение момента количества движения на ось .

3.  Найти среднее значение и дисперсию энергии линейного гармонического осциллятора с потенциальной энергией , находящегося в состоянии, описываемом функцией , где .

4.  Найти общее решение стационарного уравнения Шредингера для линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении.

5.  Найти нормированные функции Чебышева-Лагерра , где и .

6.  Построить нормированные сферические волновые функции атома водорода для - состояния (), - состояния () и - состояния ().

Вариант 8

1.  Доказать перестановочное соотношение: .

2.  Доказать, что в любом состоянии распределение любой сохраняющейся величины не меняется со временем.

3.  Рассмотреть движение линейного гармонического осциллятора, находящегося при в состоянии , где и - некоторые константы; принять, что .

4.  Записать гамильтониан линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении.

5.  Доказать следующее соотношение для полиномов Лежандра: .

6.  Найти распределение угловой координаты для - электронов () атома водорода.

Вариант 9

1.  Доказать следующее перестановочное соотношение: .

2.  Построить оператор плотности распределения координаты частицы, движущейся в заданном поле.

3.  Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой в стационарном состоянии , где и - постоянные величины.

4.  Найти распределение импульса электронов в основном состоянии атома водорода.

5.  Найти нормированные сферические функции порядка .

6.  Найти средние значения величин и для атома водорода в состоянии 1.

Вариант 10

1.  Доказать следующее перестановочное соотношение: .

2.  Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующую проекцию на ось : .

3.  Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой в стационарном состоянии , где и - постоянные величины.

4.  Найти распределение импульса частицы в основном состоянии линейного гармонического осциллятора.

5.  Найти гармонические функции вида , и , где и - сферические координаты. Записать эти функции в декартовых координатах.

6.  Чему равны наивероятнейшие значения величин и в состояниях атома водорода 2 и 2?

3.3.2. Темы семинарских занятий

Практическое занятие № 1. Одномерные квантовомеханические задачи. Частица в прямоугольной потенциальной яме.

Практическое занятие № 2. Задача о частице в потенциальном ящике.

Практическое занятие № 3. Задача о гармоническом осцилляторе.

Практическое занятие № 4. Задача о туннельном эффекте.

Практическое занятие № 5. .Математический аппарат квантовой механики.

Практическое занятие № 6. Квантовомеханические операторы.

Практическое занятие № 7. Задача о водородоподобном атоме.

3.3.3.  Методические рекомендации к практическим занятиям

Практическое занятие № 1

Одномерные квантовомеханические задачи. Частица в прямоугольной потенциальной яме

Одномерная яма с плоскими стенками, составленная из полей постоянного потенциала (так называемый потенциальный ящик), является простейшим примером потенциальной ямы.

Рис. 1. Потенциальная яма со стенками бесконечной высоты.

Пусть частица массой находится в потенциальном ящике бесконечной глубины. Зависимость потенциальной энергии от координаты изображена на рис. 1. Потенциальное поле в этом случае имеет следующие свойства: 1) при <0 ; 2) при 0< < ; 3) при > .

Итак, координатную ось можно разбить на три области в соответствии со значениями потенциальной энергии в них. Стационарное уравнение Шредингера при этом может быть записано отдельно для каждой из трех выделенных областей:

,	(8.1.1)
,	(8.1.2)
.	(8.1.3)

В уравнениях для первой и третьей областей можно пренебречь энергией частицы , имеющей конечное численное значение, по сравнению с бесконечностью. Тогда эти уравнения приобретут вид: . Очевидно, здесь возможны два случая: а) и б) . Случай а) невозможен, так как первая производная от волновой функции, то есть , должна быть непрерывна. Следовательно, .

Найдем решение для второй области. Обозначив , перепишем уравнение Шредингера для второй области: . Это – волновое уравнение. Общее решение его можно представить в виде: .

Итак, общий вид решения уравнения Шредингера для нашей задачи найден. Проверим выполнение требований, налагаемых на волновую функцию. Условия конечности, однозначности и непрерывности, как самой волновой функции, так и ее первой производной, выполняются автоматически. Осталось потребовать выполнения условия непрерывности волновой функции на границах областей. Это значит, что и .

Из условия на левой границе следует, что . Тогда условие на правой границе приобретает вид: . Коэффициент не может быть равен 0, так как в этом случае волновая функция во второй области будет равна 0 при любом значении , что, учитывая равенство 0 волновых функций в первой и третьей областях, означает отсутствие частицы в потенциальной яме. Напротив, решаемая нами задача предполагает присутствие частицы в яме.

Следовательно, остается предположить, что . Это значит, что , где пробегает значения 0,1,2,…,∞. (Заметим, что отрицательные значения можно не рассматривать, так как они не описывают новое состояние частицы – ведь физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а квадрат ее модуля). Тогда или . Отсюда получаем условие, ограничивающее возможные значения энергии частицы:

(8.1.4)

Совокупность возможных значений энергии частицы принято называть ее энергетическим спектром. Из полученной формулы видно, что энергетический спектр частицы дискретный, то есть ее энергия принимает лишь вполне определенные значения (квантуется) и зависит только от числа , которое называют квантовым числом. Формулу (8.1.4) называют условием квантования энергии частицы.

Так как при и , а значит, и независимо от значения координаты , что соответствует отсутствию частицы в яме, счет квантового числа следует начинать не с 0, а с 1, то есть: .

Итак, волновая функция, описывающая частицу во второй области, может быть представлена в виде: . Коэффициент можно найти из условия нормировки волновой функции:

.

(8.1.5)

Так как и , условие нормировки можно переписать в виде:

(8.1.6)

или: , откуда следует, что нормировочный множитель (амплитуда волновой функции) . Тогда решение для второй области можно записать в виде:

.

(8.1.7)

Волновые функции взаимно ортогональны и представляют собой стоячие волны.

Рис. 2. Уровни энергии частицы в потенциальном ящике со стенками бесконечной высоты.

Проанализируем полученные результаты.

Согласно условию квантования энергии частицы, расстояния между энергетическими уровнями возрастают с увеличением квантовых чисел и пропорциональны разности их квадратов: . Как видно, расстояние между соседними энергетическими уровнями сильно зависит от ширины потенциальной ямы. Если масштабы потенциального ящика велики и составляют макроскопическую величину, например, , то даже для самых легких частиц – электронов – получаем: =. Тогда расстояние между соседними уровнями . Уровни энергии в этом случае располагаются очень близко друг к другу и образуют квазинепрерывную полосу. Дискретная природа спектра микрочастицы в ящике проявляется только в том случае, когда размеры ящика сравнимы с атомными размерами. Для ящика шириной Å получаем: , откуда: .