Учебно-методический комплекс по дисциплине «Квантовая механика» (стр. 4 )

Теория туннельного эффекта имеет ряд важных применений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось объяснить ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в рамках классической физики. К таким явлениям можно отнести холодную эмиссию металлов (вырывание электронов из металла под действием электрического поля), а также возникновение контактной разности потенциалов. Благодаря туннельному эффекту происходит - распад атомных ядер. За счет туннельного эффекта идут термоядерные реакции в недрах Солнца и звезд.

3.3.4. Контрольные задания по проверке остаточных знаний студентов

Вариант 1

1)  Пусть - некоторые линейные операторы. Доказать соотношение .

2)  Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующую проекцию на ось : .

3)  Частица находится в основном состоянии линейного гармонического осциллятора. Найти вероятность пребывания этой частицы в области, запрещенной для классического движения.

4)  Записать кулоновский потенциал в импульсном представлении.

5)  Доказать рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра: , где

6)  В -представлении найти матричные элементы координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

Вариант 2

1)  Найти операторы, эрмитово сопряженные следующим операторам: а) ; б) ; в) ; г) .

2)  Показать, что вектор плотности тока вероятности в сферических координатах имеет следующую проекцию на ось : .

3)  Вычислить средние значения потенциальной и кинетической энергий в -м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.

4)  Показать, что все точки непрерывного спектра при движении частицы в одномерной прямоугольной яме с одной бесконечно высокой стенкой не вырождены.

5)  Функцию разложить в ряд по полиномам Лежандра.

6)  В представлении собственных функций гамильтониана линейного гармонического осциллятора построить матрицы операторов и , где .

Вариант 3

1)  Показать, что коммутатор любых двух эрмитовых операторов и всегда может быть представлен в виде: .

2)  Частица движется в сферически симметричном поле. Из приведенных ниже физических величин выбрать интегралы движения: .

3)  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, совершающей линейные гармонические колебания (стационарные состояния).

4)  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

5)  Функцию разложить в ряд по нормированным сферическим функциям.

6)  Используя явный вид оператора , найти в - представлении волновую функцию основного состояния линейного гармонического осциллятора.

Вариант 4

1)  Показать, что произведение двух эрмитовых операторов и всегда можно представлен в виде: , где - эрмитов оператор, а удовлетворяет соотношению . Найти и .

2)  Показать, что нормировка волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, не изменяется со временем.

3)  Найти энергетический спектр системы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых есть , где - некоторая константа, а и - координаты осцилляторов.

4)  Оценить вероятность пребывания частицы с массой внутри и вне одномерной прямоугольной яме конечной глубины , если ширина ямы удовлетворяет соотношению: .

5)  Найти полиномы Чебышнва-Эрмита и .

6)  Используя явный вид оператора , найти в - представлении волновых функций и первого и второго возбужденных состояний линейного гармонического осциллятора.

3.3.5. Экзаменационные вопросы

1.  Законы излучения абсолютно-черного тела. Несостоятельность классической физики при объяснении законов теплового излучения. Формула Релея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

2.  Планка о световых квантах. Корпускулярные свойства света. Формула Планка для энергии фотона. Формула Планка для спектральной плотности энергии теплового излучения. Постоянная Планка.

3.  Вывод законов Вина и Стефана - Больцмана на основе формулы Планка.

4.  Развитие квантовой гипотезы. Объяснение фотоэффекта А. Эйнштейном. Некогерентное рассеяние света (эффект Комптона). Квантовая теория теплоемкости твердого тела.

5.  Несостоятельность классической физики при объяснении атомных явлений: модель атома Томсона, ее трудности. Формула Бальмера.

6.  Опыты Резерфорда. Модель атома Резерфорда и проблема его устойчивости; линейчатый характер атомных спектров. Постулаты Бора и их экспериментальное подтверждение. Модель атома Бора - Резерфорда. Уровни энергии и спектральные серии водородоподобного атома. Трудности теории Бора.

7.  Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов. Гипотеза Луи де Бройля о корпускулярно-волновой природе микрочастиц и ее экспериментальные подтверждения. Волны де Бройля. Пакет волн де Бройля. Фазовая и групповая скорости волн де Бройля.

8.  Понятие о волновой функции частицы. Статистическое толкование волновой функции. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Мысленные опыты по одновременному определению координаты и импульса микрочастицы. Критика ошибочных истолкований соотношений неопределенности. Роль процесса измерения в квантовой механике. Вероятностный характер законов квантовой механики.

9.  Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы и частицы во внешнем потенциальном поле. Стационарные состояния. Общие свойства одномерного движения микрочастицы.

10.  Задача о частице в одномерном, абсолютно непроницаемом ящике.

11.  Задача о частице в потенциальной яме со стенками конечной высоты.

12.  Линейный гармонический осциллятор, его энергетический спектр и волновые функции. Свойства полиномов Чебышева - Эрмита.

13.  Прохождение частицы через потенциальный барьер прямоугольной и произвольной форм. Явления природы, происходящие за счет туннельного эффекта.

14.  Задача об альфа - распаде ядер. Задача о холодной эмиссии электронов из металла.

15.  Понятие о волновой функции квантово-механической системы. Статистическое толкование волновой функции. Свойства волновой функции. Принцип суперпозиции состояний.

16.  Изображение физических величин линейными самосопряженными операторами. Свойства самосопряженных операторов. Соотношения коммутативности. Свойства коммутирующих операторов.

17.  Операторы различных физических величин.

18.  Собственные функции и собственные значения операторов импульса и z-проекции момента импульса.

19.  Средние значения физических величин и вероятности их дозволенных значений.

20.  Соотношение неопределенностей как естественное следствие свойств микрочастиц.

21.  Временное уравнение Шредингера для квантово-механической системы. Принцип причинности в квантовой механике. Вектор плотности потока вероятности.

22.  Дифференцирование операторов по времени. Законы сохранения в квантовой механике.

23.  Теоремы Эренфеста. Предельный переход от квантовой механики к классической.

24.  Проблема двух тел в квантовой механике и ее сведение к задаче о движении одной частицы в центрально-симметрическом поле. Интегралы движения микрочастицы в поле центральной силы. Операторы момента импульса для поля центральной силы, их собственные функции и собственные значения.

25.  Задача о пространственном ротаторе. Свойства присоединенных полиномов Лежандра.

26.  Радиальное уравнение Шредингера для частицы в поле центральной силы. Поведение радиальной волновой функции на больших и малых расстояниях от центра поля.

27.  Точное решение радиальной части уравнения Шредингера для водородоподобного атома. Свойства обобщенных полиномов Лагерра.

28.  Энергетические уровни и структура волновых функций дискретного спектра. Кратность вырождение энергетических уровней. Спектроскопическая классификация состояний.

29.  Радиальная и угловая плотности электронного облака водородоподобного атома.

30.  Токи в атомах. Магнитный момент орбитального движения электрона в водородоподобном атоме. Квантование энергии вращения. Магнетон Бора.

31.  Модель оптического электрона для атомов щелочных металлов.

32.  Понятие о различных представлениях состояния квантово-механической системы.

33.  Матричное представление операторов. Уравнение Шредингера в матричной форме.

34.  Постановка задач, решаемых методами теории возмущения.

35.  Теория стационарного возмущения при отсутствии вырождения.

36.  Теория стационарного возмущения при наличии вырождения.

37.  Изотопический сдвиг уровней водородоподобного атома.

38.  Теория вынужденных квантовых переходов.

39.  Полуклассическая теория излучения. Коэффициенты Эйнштейна для индуцированных и спонтанных переходов.

40.  Соотношение неопределенностей для энергии и времени. Интенсивность и естественная ширина спектральных линий.

41.  Вероятность вынужденных электродипольных переходов. Правила отбора для электродипольного излучения осциллятора и оптического электрона в атомах.

42.  Экспериментальные доказательства существования спина электрона (опыты Штерна и Герлаха, дублетная структура спектров паров щелочных металлов, опыты Эйнштейна и де Гааза).

43.  Операторы спина и их собственные функции. Волновая функция электрона с учетом спина.

44.  Полный вращательный момент электрона и его свойства. Векторная модель атома.

45.  Движение электрона во внешнем магнитном поле. Уравнение Паули.

46.  Расщепление спектральных линий в магнитном поле. Аномальный и нормальный эффект Зеемана.

47.  Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Оператор перестановки частиц. Симметричные и антисимметричные состояния. Фермионные и бозоные системы. Принцип Паули. Волновые функции систем состоящих из фермионов и бозонов.

48.  Приближенная теория атома гелия. Синглетные и триплетные уровни. Орто - и парагелий. Обменное взаимодействие электронов в атоме гелия. Обменная энергия.

49.  Многоэлектронные атомы. Понятие о методе самосогласованного поля; правила сложения моментов; типы связей электронов в атомах. Периодическая система элементов . Заполнение оболочек в атомах.

50.  Молекула водорода и природа химических сил.

3.3.6. Экзаменационные билеты по квантовой механике

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4 - VII

Экзаменационный билет № 1

1 .  Задача о пространственном ротаторе. Свойства присоединенных полиномов Лежандра.

2 .  Молекула водорода и природа химических сил.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 2

1 .  Задача двух тел в квантовой механике для случая центрально-симметричного поля. Интегралы движения, операторы момента импульса, их собственные функции и собственные значения.

2 .  Многоэлектронные атомы. Понятие о методе самосогласованного поля; сложение моментов; типы связей электронов в атомах. Периодическая система элементов . Заполнение оболочек в атомах.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики _____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 3

1 .  Теоремы Эренфеста. Предельный переход от квантовой механики к классической.

2 .  Приближенная теория атома гелия. Синглетные и триплетные уровни. Орто - и парагелий. Обменное взаимодействие электронов в атоме гелия. Обменная энергия.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 4

1 .  Дифференцирование операторов по времени. Законы сохранения в квантовой механике.

2 .  Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Оператор перестановки частиц. Симметричные и антисимметричные состояния. Фермионные и бозонные системы. Принцип Паули. Волновые функции систем состоящих из фермионов и бозонов.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 5

1 .  Временное уравнение Шредингера для квантовомеханической системы. Принцип причинности в квантовой механике. Вектор плотности потока вероятности.

2 .  Расщепление спектральных линий в магнитном поле. Аномальный и нормальный эффект Зеемана.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ___________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 6

1 .  Соотношение неопределенностей как естественное следствие свойств микрочастиц.

2 .  Движение электрона во внешнем магнитном поле. Уравнение Паули.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ___________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 7

1 .  Средние значения физических величин и вероятности их дозволенных значений.

2 .  Полный вращательный момент электрона и его свойства. Векторная модель атома.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ___________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 8

1 .  Собственные функции и собственные значения операторов импульса и z-проекции момента импульса.

2 .  Операторы спина и их собственные функции. Волновая функция электрона с учетом спина.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 9

1 .  Операторы различных физических величин.

2 .  Экспериментальные доказательства существования спина электрона (опыты Штерна и Герлаха, дублетная структура спектров паров щелочных металлов, опыты Эйнштейна и де Гааза).

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 10

1 .  Изображение физических величин линейными самосопряженными операторами. Свойства самосопряженных операторов. Соотношения коммутативности. Свойства коммутирующих операторов.

2 .  Вероятность вынужденных электродипольных переходов. Правила отбора для электродипольного излучения осциллятора и оптического электрона в атомах.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 11

1 .  Понятие о волновой функции квантово-механической системы. Статистическое толкование волновой функции. Свойства волновой функции. Принцип суперпозиции состояний.

2 .  Соотношение неопределенностей для энергии и времени. Интенсивность и естественная ширина спектральных линий.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 12

1 .  Задача об альфа - распаде ядер. Задача о холодной эмиссии электронов из металла.

2 .  Полуклассическая теория излучения. Коэффициенты Эйнштейна для индуцированных и спонтанных переходов.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 13

1 .  Прохождение частицы через потенциальный барьер прямоугольной и произвольной форм. Явления природы, происходящие за счет туннельного эффекта.

2 .  Теория вынужденных квантовых переходов.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 14

1 .  Линейный гармонический осциллятор, его энергетический спектр и волновые функции. Свойства полиномов Чебышева - Эрмита.

2 .  Изотопический сдвиг уровней водородоподобного атома.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 15

1 .  Задача о частице в потенциальной яме со стенками конечной высоты.

2 .  Теория стационарного возмущения при наличии вырождения.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 16

1 .  Задача о частице в одномерном, абсолютно непроницаемом ящике.

2 .  Теория стационарного возмущения при отсутствии вырождения.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 17

1 .  Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы и частицы во внешнем потенциальном поле. Стационарные состояния. Общие свойства одномерного движения микрочастицы.

2 .  Постановка задач, решаемых методами теории возмущения.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 18

1 .  Понятие о волновой функции частицы. Статистическое толкование волновой функции. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Мысленные опыты по одновременному определению координаты и импульса микрочастицы. Критика ошибочных истолкований соотношений неопределенности. Роль процесса измерения в квантовой механике. Вероятностный характер законов квантовой механики.

2 .  Матричное представление операторов. Уравнение Шредингера в матричной форме.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 19

1 .  Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов. Гипотеза Луи де Бройля о корпускулярно-волновой природе микрочастиц и ее экспериментальные подтверждения. Волны де Бройля. Пакет волн де Бройля. Фазовая и групповая скорости волн де Бройля.

2 .  Понятие о различных представлениях состояния квантовомеханической системы.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 20

1 .  Опыты Резерфорда. Модель атома Резерфорда и проблема его устойчивости; линейчатый характер атомных спектров. Постулаты Бора и их экспериментальное подтверждение. Модель атома Бора - Резерфорда. Уровни энергии и спектральные серии водородоподобного атома. Трудности теории Бора.

2 .  Модель оптического электрона для атомов щелочных металлов.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 21

1 .  Несостоятельность классической физики при объяснении атомных явлений: модель атома Томсона, ее трудности. Формула Бальмера.

2 .  Токи в атомах. Магнитный момент орбитального движения электрона в водородоподобном атоме. Квантование энергии вращения. Магнетон Бора.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 22

1 .  Развитие квантовой гипотезы. Объяснение фотоэффекта А. Эйнштейном. Некогерентное рассеяние света (эффект Комптона). Квантовая теория теплоемкости твердого тела.

2 .  Радиальная и угловая плотности электронного облака водородоподобного атома.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 23

1 .  Вывод законов Вина и Стефана - Больцмана на основе формулы Планка.

2 .  Энергетические уровни и структура волновых функций дискретного спектра. Кратность вырождение энергетических уровней. Спектроскопическая классификация состояний.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 24

1 .  Планка о световых квантах. Корпускулярные свойства света. Формула Планка для энергии фотона. Формула Планка для спектральной плотности энергии теплового излучения. Постоянная Планка.

2 .  Точное решение радиальной части уравнения Шредингера для водородоподобного атома. Свойства обобщенных полиномов Лагерра.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Физико-математический факультет

Дисциплина: Квантовая механика ДО ФМ 4-VII

Экзаменационный билет № 25

1 .  Законы излучения абсолютно-черного тела. Несостоятельность классической физики при объяснении законов теплового излучения. Формула Релея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

2 .  Радиальное уравнение Шредингера для частицы в поле центральной силы. Поведение радиальной волновой функции на больших и малых расстояниях от центра поля.

3 .  Задача.

Зав. кафедрой теоретической физики ____________

3.3.7. Задачи к экзамену

1.  Пусть - некоторые линейные операторы. Доказать соотношение .

2.  Частица находится в основном состоянии линейного гармонического осциллятора. Найти вероятность пребывания этой частицы в области, запрещенной для классического движения.

3.  Записать кулоновский потенциал в импульсном представлении.

4.  В -представлении найти матричные элементы координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

5.  Найти операторы, эрмитово - сопряженные оператору .

6.  Найти операторы, эрмитово - сопряженные оператору .

7.  Найти операторы, эрмитово - сопряженные оператору .

8.  Найти операторы, эрмитово - сопряженные оператору .

9.  Вычислить средние значения потенциальной и кинетической энергий в -м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.

10.  Показать, что коммутатор любых двух эрмитовых операторов и всегда может быть представлен в виде: .

11.  Частица движется в сферически симметричном поле. Из приведенных ниже физических величин выбрать интегралы движения: .

12.  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, совершающей линейные гармонические колебания (стационарные состояния).

13.  Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

14.  Найти энергетический спектр системы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых есть , где - некоторая константа, а и - координаты осцилляторов.

15.  Оценить вероятность пребывания частицы с массой внутри и вне одномерной прямоугольной яме конечной глубины , если ширина ямы удовлетворяет соотношению: .

16.  Доказать перестановочное соотношение: .

17.  Показать, что операторы скорости и ускорения частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией , могут быть представлены в виде: и , где - масса частицы.

18.  Линейный гармонический осциллятор находится при в состоянии . Вычислить .

19.  Получить приближенное выражение для энергии связи частицы с массой в одномерной прямоугольной яме конечной глубины , если ширина ямы удовлетворяет соотношению: .

20.  Записать волновую функцию свободной частицы в импульсном представлении.

21.  Найти средние значения величин и для гармонического осциллятора с энергией при .

22.  Доказать перестановочное соотношение: .

23.  Найти общее решение стационарного уравнения Шредингера для линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении.

24.  Записать гамильтониан линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении.