Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Статистика» (стр. 10 )

Для оценки существенности (значимости) совокупного коэффициента корреляции используется критерий F-Фишера.

Для этого определяется F-расчетное по следующей формуле:

где - факторная дисперсия результативного признака, обусловленная вариацией признаков-факторов;

,

где - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии;

- остаточная дисперсия:;

- общая дисперсия результативного признака;

- число данных;

- число параметров уравнения.

По таблице F-распределения (см. приложение) следует отыскать табличное значение при числе степеней свободы , и уровне значимости =0,05 (P=1–0,05).

Если , то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между результативным и факторным признаками существенна.

Кроме совокупного коэффициента корреляции познавательное значение имеют частные коэффициенты корреляции, позволяющие установить степень тесноты связи между результативным признаком y и каждым из факторных признаков при исключении искажающего влияния других факторных признаков. Следовательно, коэффициенты частной корреляции отражают степень «чистого» влияния факторного признака на результативный признак. Для их расчета могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости результативного признака y от двух признаков-факторов ( и ) определяются два коэффициента частной корреляции:

·  частный коэффициент корреляции между результативным признаком y и фактором при элиминировании фактора :

;

·  частный коэффициент корреляции между результативным признаком y и фактором при элиминировании фактора :

.

Для общего случая частные коэффициенты корреляции определяются по формуле

,

где - коэффициент детерминации результативного признака y с комплексом факторных признаков ;

- коэффициент детерминации результативного признака с комплексом признаков ;

- частный коэффициент корреляции результативного признака y с факторным признаком при исключении влияния факторных признаков .

Величина частного коэффициента корреляции лежит в пределах от 0 до 1, а знак определяется знаком соответствующих параметров регрессии.

Рассчитывая величины частных коэффициентов корреляции, следует иметь в виду, что каждый из них по своей абсолютной величине не может быть больше величины коэффициента множественной (совокупной) корреляции .

10 Для сравнения роли различных факторов в формировании моделируемого показателя определяется коэффициент эластичности (Эj) или β-коэффициент (βj).

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак y с изменением признака-фактора x на 1%, и определяется по формуле

,

где - коэффициент регрессии при j-м факторе.

β-коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель при изменении соответствующего фактора x на величину его среднего квадратического отклонения; его формула имеет вид:

.

Решение типовых задач

1 Имеются экспериментальные данные исследования влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву:

№ анализа	Время вулканизации (мин.), x	Сопротивление разрыву, кг/см2	№ анализа	Время вулканизации (мин.), x	Сопротивление разрыву, кг/см2
1 2 3 4 5 6 7	35 40 30 42 37 38 34	162 174 155 172 173 166 162	8 9 10 11 12 13 14	33 36 31 36 43 39 44	160 167 153 163 173 168 176

Провести на основе приведенных данных исследование взаимосвязи сопротивления резины разрыву и времени ее вулканизации; аналитическое выражение связи проверить на достоверность.

Р е ш е н и е

Результативный признак – сопротивление разрыву (y);

факторный признак – время вулканизации (x).

А) Первичная информация проверяется на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации.

; мин.

Для расчета использована вспомогательная таблица (табл. 5.6).

мин.; %.

Следовательно, совокупность можно считать однородной.

Б) Проверка первичной информации на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм»:

Интервалы значений признака x, мин.	Число единиц, входящих в интервал	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, в общем их числе, %	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, при нормальном распределении, %
32,9-41,1 28,8-45,2 24,7-49,3	9 14 14	64,3 100,0 100,0	68,3 95,4 99,7

Интервалы для значений признака-фактора: ; ; , т. е (37,0-4,1)-(37,0+4,1); (37,0-8,2)-(37,0+8,2);(37,0-12,3)-(37,0+12,3).

Первичная информация по признаку-фактору не подчиняется закону нормального распределения, однако это не является основанием для отказа использования корреляционно-регрессионного анализа.

Вспомогательная таблица для расчета σx

№ анализа	Время вулканизации (мин.), x			№ анализа	Время вулканизации (мин.), x
1 2 3 4 5 6 7	35 40 30 42 37 38 34	-2 +3 -7 +5 0 +1 -3	4 9 49 25 0 1 9	8 9 10 11 12 13 14	33 36 31 36 43 39 44	-4 -1 -6 -1 +6 +2 -7	16 1 36 1 36 4 49
Итого	-	-	-	-	-	0	240

В) Исключение из первичной информации резко выделяющихся единиц, которые по признаку-фактору не попадают в интервал , т. е., по имеющимся данным:

; .

Г) Для установления факта наличия связи производится аналитическая группировка по признаку-фактору. Группировка выполняется при равных интервалах и числе групп 4. Величина интервала определяется по формуле

мин.,

где m – число групп.

Величина интервала принимается равной 4,0 мин. Ниже построена групповая таблица:

Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации

Время вулканизации, мин.	Число анализов,		Средняя величина сопротивления разрыву (кг/см2),
30-34 34-38 38-42 42-46	3 5 3 3	468 827 508 521	156,0 165,4 169,3 173,7
Итого	14	2324	-

Для заполнения групповой таблицы была использована вспомогательная таблица

Время вулканизации, мин.	30-34	35-38	38-42	42-46
№ анализа	3; 8; 10	1; 5; 7; 9; 11	2; 6; 13	4; 12; 14
Сопротивление разрыву, кг/см2	155; 160; 153	162; 173; 162; 167; 163	174; 166; 168	172; 173; 176

Как видно из данных групповой таблицы, с увеличением времени вулканизации возрастает величина сопротивления резины разрыву. На рисунке представлен график связи.

Рис. Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации

Эмпирическая линия связи приближается к прямой линии. Следовательно, можно считать наличие прямолинейной корреляции.

Д) Для измерения степени тесноты связи используется линейный коэффициент корреляции:

Для расчета r использована вспомогательная таблица:

Вспомогательная таблица для расчета линейного коэффициента

корреляции и уравнения связи

№ анализа	Время вулканизации (мин.), x	Сопротивление разрыву (кг/см2), y			xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	35 40 30 42 37 38 34 33 36 31 36 43 39 44	162 174 155 172 173 166 162 160 167 153 163 173 168 176	1225 1600 900 1764 1369 1444 1156 1089 1296 961 1296 1849 1521 1936	26244 30276 24025 29584 29929 27556 26244 25600 27889 23409 26569 29929 28224 30976	5670 6960 4650 7224 6401 6308 5508 5280 6012 4743 5868 7439 6552 7744	163,0 170,5 155,5 173,5 166,0 167,5 161,5 160,0 164,5 157,0 164,5 175,0 169,0 176,5	-1,0 +3,5 -0,5 -1,5 +7,0 -1,5 +0,5 0,0 +2,5 -4,0 -1,5 -2,0 -1,0 -0,5	1,00 12,25 0,25 2,25 49,00 2,25 0,25 0,00 6,25 16,00 2,25 4,00 1,00 0,25
Итого	518	2324	19406	386454	86359	-	-	97,00

Значение линейного коэффициента корреляции (r = +0,925) свидетельствует о наличии прямой и очень тесной связи.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

;

По таблице (см. приложение) определяется t-критерий Стьюдента при P = 0,95 и k = 14-2; = 2,179.

- критерия (8,41>2,179).

Следовательно, можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

Е) Определяется модель связи. График линии средних показывает наличие линейной связи, поэтому используется функция .

;

;

Модель связи следующая: .

Для возможности использования линейной функции определяется величина , которая сравнивается с F-критерием.

Для расчета исчисляется корреляционное отношение

; .

Для расчета используются данные таблицы «Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации»

;

;

.

Следовательно, корреляционное отношение показывает наличие достаточно тесной связи.

.

При вероятности P = 0,95 (α = 0,05) k1 = m – 2 = 4 – 4 = 2 и k2 = n – m = 14 – 4 = 10; Fтабл= 4,10 (см. приложение). Так как меньше , то возможность использования линейной функции не опровергается.

Средняя квадратическая ошибка уравнения

.

(см. вспомогательную таблицу для расчета линейного коэффициента корреляции и уравнения связи). В формуле - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению связи.

Так, для анализа № 1 ; для остальных анализов расчет выполняется аналогично. Результаты расчета записаны в выше указанной таблице.

.

Полученное отношение значительно меньше 15%, поэтому уравнение достаточно хорошо отображает взаимосвязь двух признаков и может быть использовано в практической работе.

2 По группе предприятий за отчетный год имеются следующие данные:

№ предприятия	Годовая производительность труда работника, тыс. руб.	Вооруженность труда основным капиталом, тыс. руб./чел.	Удельный вес оборудования в стоимости основного капитала	Текучесть кадров, %	Интегральный показатель использования рабочего времени
1	360	15,2	0,39	9,1	0,96
2	298	12,8	0,29	10,1	0,80
3	328	13,8	0,34	5,0	0,84
4	330	14,0	0,36	7,0	0,86
5	366	16,3	0,47	9,0	0,98
6	316	12,6	0,28	4,0	0,83
7	334	13,2	0,32	12,0	0,87
8	300	12,9	0,29	6,5	0,84
9	314	13,1	0,33	8,0	0,81
10	320	12,5	0,28	7,0	0,85
11	362	15,7	0,40	8,5	0,97
12	332	13,5	0,34	5,0	0,83

На основании приведенных данных требуется: