Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 2 )

Решение.

Обозначим события:

;

;

.

Найдем вероятности этих простых несовместных событий по формуле :

; ; .

Введем обозначение для интересующего нас события:

– сумма двух несовместных событий.

Вычислим вероятность этого события по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

.

1.3.6. Условие независимости событий

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило или нет другое событие. Вероятность события, вычисленная в предположении, что одно или несколько уже наступили, называется условной вероятностью события и обозначается:

– условная вероятность события А относительно события В;

– условная вероятность события В относительно события А.

События А и В независимы, если их условные вероятности равны «безусловным», т. е. тот факт, что событие В наступило к моменту вычисления вероятности события А, не изменил вероятности последнего события. Аналитическая запись условия независимости событий

или = Р(В) (5)

Условная вероятность события может быть получена по формуле

.

Ясно, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А и наоборот.

Задача 2.

Из колоды карт в 36 листов берут наугад одну карту. Рассмотреть события:

; ;

Определить их парную независимость (или зависимость).

Решение.

Вычислим «безусловные» вероятности событий:

; ; .

Вычислим необходимые условные вероятности:

; ; .

Вывод: 1., следовательно, события А и В независимы.

2. , следовательно, события А и С зависимы.

3. , следовательно, события В и С зависимы.

Задача 3.

Зависимы или нет противоположные события?

Решение.

Запишем условие независимости для противоположных событий: и обозначим «безусловную» вероятность события А: . Легко понять, что условная вероятность , поскольку противоположные события в одном испытании несовместны.

Вывод: события зависимы, так как .

1.3.7. Теорема умножения вероятностей

Напомним, что произведением (пересечением) двух или нескольких событий называется сложное событие, состоящее в совместном наступлении одновременно или последовательно одно за другим всех событий (рис. 5 и 6).

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другого, т. е.

. (6)

Доказательство.

Пусть n – общее число всех возможных исходов опыта (рис. 7). Пусть m из них благоприятствуют наступлению события А, а k – наступлению события В. Пусть также l исходов одновременно благоприятствуют наступлению событий А и В. Запишем вероятности этих событий:

Запишем условную вероятность события В: . Подставим все эти вероятности в доказываемую формулу: . Получим тождество: , что и подтверждает правильность доказываемой формулы.

Аналогично для трех и более событий:

а) ;

б) .

Для независимых событий А и В по условию независимости событий, поэтому вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

(7)

Задача 4.

На карточках написаны буквы Г, Е, О, Д, Е, З, И, Я. Карточки перемешаны и перевернуты, а затем вскрываются по одной. Определить вероятность того, что в порядке появления букв получится слово .

Решение.

Интересующее нас событие по определению есть произведение событий. Поскольку, вскрытые карточки обратно не возвращаются, то элементарные события, образующие событие В, зависимы. Поэтому, для решения задачи применим теорему умножения вероятностей зависимых событий, в соответствии с которой, запишем:

.

Вычислим вероятности в правой части, используя формулу классического определения вероятности: ; ; ; ;

Тогда .

Задача 5.

Вероятность переделывания ходов нивелирования 2 класса у одного исполнителя составляет 6%, а у другого – 3%. Исполнители проводят нивелирование одного хода – один в прямом, а другой – в обратном направлениях. Найти вероятность того, что хотя бы один из них выполнит работу без переделывания.

Решение.

Введем события:

; ;

; ;

.

Легко понять, что элементарные события и по смыслу совместны и независимы. С учетом этого запишем формулу для вычисления вероятности события В:

и вычислим

Таким образом, теоремы сложения и умножения вероятностей позволяют находить вероятности сложных событий, и при решении задач прежде всего важно установить, к какому типу сложных событий относится интересующее нас событие: является оно логической суммой или логическим произведением простых событий. Вероятности простых событий, как правило, указываются в условии задачи или вычисляются по формулам (1) и (2).

1.3.8. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием обеих теорем – сложения и умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может наступить только вместе с одним из событий

,

образующих полную группу и называемых гипотезами.

В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе, т. е.

(8)

Действительно, гипотезы образуют полную группу событий, и событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т. е.

.

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации тоже несовместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

.

Применяя к событиям теорему умножения вероятностей зависимых событий, получим

.

Задача 6.

Геодезисты проводят рекогносцировку местности с целью нахождения и опознания пунктов полигонометрии. Какова вероятность того, что, находясь в точке О и выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей, они попадут в точку А, где находится один из искомых пунктов?

Решение.

Пусть событие .

Обозначим события-гипотезы:

,

,

;

.

Поскольку выбор направления происходит случайно, наугад, то вероятность каждой гипотезы . Найдем вероятность попасть в точку А, следуя по первому направлению, т. е. , затем – по второму направлению: , по третьему: и, наконец, по четвертому: . По формуле (8) полной вероятности получим:

.

1.3.9. Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Испытания Бернулли – это повторные многократные, независимые испытания с двумя возможными исходами и с вероятностью успеха, не меняющейся от испытания к испытанию. Классический пример испытаний Бернулли – многократное бросание монеты.

Пусть производится серия n испытаний, в которых наблюдается событие А, причем вероятность успеха в каждом испытании, т. е. проводятся испытания Бернулли.

В условиях этих испытаний представляют интерес два вопроса:

1.  Какова вероятность того, что наблюдаемое событие наступит ровно k раз в n испытаниях?

2.  Сколько раз вероятнее всего наступит наблюдаемое событие?

Получим ответы на эти вопросы.

Итак, вопрос первый: какова вероятность того, что наблюдаемое событие наступит ровно k раз в n испытаниях безразлично в какой последовательности?

Рассмотрим возможные исходы испытаний.

А. Пусть . Тогда в испытаниях возможны только два исхода, составляющие полную группу событий:

где – событие наступило и – событие не наступило.

При этом – как вероятность полной группы событий.

Обозначим , тогда можно записать:

.

Б. Пусть n = 2. Тогда в испытаниях возможны только следующие независимые исходы:

,

составляющие полную группу событий.

Сумма вероятностей этих событий по-прежнему равна единице: , как вероятность полной группы событий. Поскольку события независимы, то можно применить теорему умножения вероятностей независимых событий и записать или в виде

.

В. Пусть . Тогда в испытаниях возможны следующие исходы:

,

которые по-прежнему составляют полную группу событий. Поэтому

,

а по теореме умножения вероятностей независимых событий

или

и так далее.

После n испытаний можно записать

Последнее выражение есть бином Ньютона. Его можно разложить на сумму слагаемых

,

где – биномиальные коэффициенты, определяемые формулой , при вычислении которых принимается .

Первое слагаемое означает вероятность того, что событие А наступит 0 раз при n испытаниях, второе – 1 раз, третье – 3 раза и так далее; последнее слагаемое – вероятность наступления события А n раз в n испытаниях.

Таким образом, ответ на первый вопрос, представляющий интерес в испытаниях Бернулли, получен: вероятность наступления события ровно k раз в n испытаниях можно вычислить по формуле

, (9)

называемой формулой Бернулли.

Напомним, что , а в правой части формулы Бернулли: – вероятность наступления события в одном испытании;

– вероятность не наступления события в одном испытании.

Задача 7.

Горизонтальный угол измерен пятью приемами. Какова вероятность того, что положительная случайная ошибка появится 3 раза?

Решение.

Найдем вероятность по формуле Бернулли, учитывая, что :

Задача 8.

Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее 4-х раз при 5 независимых испытаниях. Определить вероятность наступления события В, если вероятность появления события А в одном испытании постоянна и равна 0.3.

Решение.

Согласно условию, событие – сумма несовместных событий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий определим , а по формуле Бернулли найдем вероятности , учитывая, что , а :

;

;

.

Найдем теперь ответ на второй вопрос, возникающий в связи с испытаниями Бернулли: сколько раз вероятнее всего появится событие А в n многократных испытаниях?

Другими словами, требуется определить наивероятнейшее число k0 появлений события в n испытаниях, т. е. такое число k0, которому соответствует максимальная вероятность . Последнее означает, что должны выполняться условия:

.

Можно показать, что эти условия приводят к неравенству

(10)

из которого и определяется наивероятнейшее число k0 появлений события в n испытаниях. Отметим, что k0 – целое число.

Если np – q и np + p – целые разные числа, то будет минимум два наивероятнейших числа – им соответствует одинаковая в точности максимальная вероятность.

Если p ≈ q и n достаточно велико, то k0 ≈ np.

Задача 9.

Сколько раз вероятнее всего появится положительная случайная ошибка при измерении горизонтального угла пятью приемами? Чему равна вероятность наивероятнейшего числа?

Решение.

Из неравенства определим k0 с учетом того, что , т. е. или . Следовательно, – два наивероятнейших числа. Определим их вероятности по формуле Бернулли, т. е.

;

.

1.3.10. Использование противоположного события
при решении задач

При независимых многократных испытаниях для вычисления вероятности суммы событий вместо теоремы сложения вероятностей удобнее использовать вероятность противоположного события.

Обозначим через – наступление события в i-м испытании. По определению, сумма событий – наступление события хотя бы один раз:

.

Противоположное событие есть произведение событий , противоположных событиям , означающих не наступление событий . Противоположные события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.

.

Отсюда . Поскольку события – также, как и события , независимы, то согласно теореме умножения вероятностей независимых событий

,

где . Итак,

. (11)

В частном случае, когда и для всех испытаний , получим

.

Полученные формулы особенно эффективны при .

Задача 10.

Три стрелка стреляют в цель с вероятностью успеха, соответственно, и . Найти вероятность поражения мишени.

Решение.

Введем обозначения для событий:

,

,

,

.

Вычислим вероятности событий, противоположных событиям и :

; ;

Тогда вероятность события B: .

Решение задачи 5 также легко может быть получено с использованием вероятности противоположных событий:

.

1.4. Случайная величина

1.4.1. Дискретная и непрерывная случайная величина

С понятием случайного события тесно связано понятие случайной величины. Случайная величина – количественная характеристика случайного явления.

Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайную величину принято обозначать заглавными конечными буквами латинского алфавита, например, , а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами. Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случайными величинами.

Каждое значение случайной величины есть случайное событие. Все возможные значения случайной величины составляют полную группу событий.

Различают случайные величины двух типов – дискретные и непрерывные.

Дискретной называется такая случайная величина, возможные значения которой принимают отдельные изолированные значения, и их все можно указать заранее численно, если их число конечно.

Например, случайная величина – число попаданий при 3-х выстрелах; возможные значения случайной величины : . Или случайная величина - число появлений случайной ошибки одного знака при двух измерениях, ее возможные значения: .

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Мы будем рассматривать дискретные случайные величины лишь с конечным числом возможных значений.

Непрерывной называется такая случайная величина, возможные значения которой в принципе нельзя указать заранее численно, а можно указать лишь границы ее изменения, т. е. отрезок, на котором находятся все ее возможные значения.

Например, случайная величина – координаты точек попадания при стрельбе в мишень, значения которой ограничены размерами мишени, или случайная величина – результаты многократных измерений одной величины, которые непрерывно изменяются в пределах точности измерительного прибора.

Число возможных значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Отметим, что конкретные значения непрерывной случайной величины при малом числе испытаний могут заметно отличаться друг от друга, и в этом смысле она не кажется непрерывной. Кроме того, число наблюдений всегда конечно. Поэтому следует понимать, что при определении типа случайной величины нужно исходить из того, можно или нет в принципе указать заранее численно все возможные значения, которые она может принять в процессе опыта.

Важнейшей характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей ее значений.

1.4.2. Закон распределения случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину с возможными значениями , составляющими полную группу событий, каждое из которых она может принять с некоторой вероятностью:

.

В результате опыта данная случайная величина обязательно примет только одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы событий.

Если указать численно значения вероятностей , то тем самым будет задан закон распределения вероятностей случайной величины или просто – закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения.

1.4.3. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины

Существует несколько способов задания закона распределения дискретной случайной величины.

1. Численный способ – в виде ряда распределения

			…		.
			…

Ряд распределения – таблица, где указаны все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности . Сумма вероятностей , как вероятность полной группы событий.