Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 7 )

.

Для каждой пары компонент и этого вектора существует корреляционный момент связи. Все они могут быть объединены в корреляционную матрицу – матрицу парных корреляционных моментов связи или ковариационную матрицу данного вектора:

(65)

Это симметричная квадратная матрица, т. е. . На главной ее диагонали находятся дисперсии отдельных случайных величин, входящих в систему, так как

.

Недиагональные элементы характеризуют связь между и .

Корреляционная матрица играет важную роль при математической обработке зависимых величин.

Для независимых случайных величин при , поэтому их корреляционная матрица имеет диагональный вид

и называется дисперсионной матрицей.

При необходимости может быть получена нормированная корреляционная матрица или матрица коэффициентов корреляции. Нормирование выполняется делением каждого элемента корреляционной матрицы на . Нормированная корреляционная матрица имеет вид

(66)

где и , т. е. нормированная корреляционная матрица также симметричная.

Задача 20.

Дана корреляционная матрица системы случайных величин , т. е. случайного вектора:

.

Определить, какие случайные величины коррелированы, и найти средние квадратические отклонения всех случайных величин.

Решение.

Попарно коррелированы случайные величины и , и , и , так как корреляционные моменты связи этих пар не равны нулю, а именно: . Случайные величины и , и , и не коррелированы, так как их корреляционные моменты связи равны нулю, т. е. .

Средние квадратические отклонения случайных величин вычислим как корни квадратные из диагональных элементов корреляционной матрицы, т. е. :

.

Задача 21.

Для случайного вектора известна корреляционная матрица

.

Получить матрицу коэффициентов корреляции.

Решение.

Матрицу коэффициентов корреляции получим нормированием исходной корреляционной матрицы. Для этого сначала вычислим средние квадратические отклонения всех случайных величин по формуле :

.

Затем по формуле вычислим парные коэффициенты корреляции ,, и объединим их в нормированную корреляционную матрицу – матрицу коэффициентов корреляции, учитывая, что :

.

Подчеркнем, что по значению коэффициента корреляции можно судить о наличии или об отсутствии корреляционной зависимости между двумя случайными величинами, а также о силе, тесноте этой зависимости, но нельзя судить о форме зависимости, т. е. нельзя выявить механизм получения зависимой случайной величины.

1.7. Функция случайных величин

Определение закона распределения случайной величины из эксперимента часто оказывается делом сложным и дорогостоящим. Поэтому вполне естественна задача: свести объем эксперимента к минимуму и определить закон распределения интересующей нас величины косвенным образом, представив ее в виде функции других случайных величин, для которых закон распределения известен.

На практике чаще встречается более узкая задача, когда закон распределения интересующей нас случайной величины не важен, а достаточно знать лишь ее основные числовые характеристики – математическое ожидание и дисперсию – и некоторые из высших моментов. Рассмотрим задачу определения числовых характеристик случайной величины, если ее можно выразить как функцию других случайных величин с известными аналогичными числовыми характеристиками.

Пусть случайная величина есть функция в общем случае коррелированных аргументов – случайных величин – с известными математическими ожиданиями соответственно и образующими вектор

.

Пусть известна корреляционная матрица этого вектора (аргументов функции):

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины y.

Рассмотрим сначала линейную функцию

(67)

Согласно свойствам математического ожидания математическое ожидание линейной функции может быть получено по формуле

(68)

По определению дисперсии, дисперсия этой функции равна

Найдем разность

.

Тогда

Таким образом, дисперсия линейной функции случайных коррелированных аргументов может быть получена по формуле

(69)

Если аргументы не коррелированы, т. е. в корреляционной матрице элементы , то формула для вычисления дисперсии упрощается:

(70)

В случае, когда имеем нелинейную по аргументам функцию произвольного вида , задача нахождения ее математического ожидания и дисперсии решается по тем же формулам после предварительной линеаризации этой функции разложением ее в ряд Тейлора, ограничиваясь производными первого порядка. Это значит, что коэффициенты линеаризованной функции равны частным производным этой функции по аргументам

.

Таким образом, математическое ожидание нелинейной функции в общем случае

(71)

Дисперсия нелинейной функции коррелированных аргументов

(72)

Если аргументы не коррелированы, то

(73)

Задача 22.

Вычислить среднее квадратическое отклонение линейной функции , если известна корреляционная матрица ее аргументов

.

Решение.

Вычислим дисперсию функции по формуле , т. е.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 23.

Вычислить среднее квадратическое отклонение в приращении ординаты точки полигонометрического хода, если длина линии на местности , , а дирекционный угол направления измерен со средним квадратическим отклонением .

Решение.

Приращение ординаты вычисляется по формуле . Аргументы и не коррелированы – по условию задачи.

Для решения задачи применим формулу .

В нашем случае или

Тогда .

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Общие сведения

Математическая статистика занимается изучением закономерностей массовых случайных явлений, величин, полученных из опыта, эксперимента. Она разрабатывает методы регистрации, описания и анализа опытных экспериментальных данных, составление прогнозов.

Задачи математической статистики:

1. Выравнивание статистических рядов, т. е. определение неизвестного закона распределения случайной величины или его идентификация.

2. Оценивание неизвестных параметров распределения – более узкая задача по сравнению с первой.

3. Проверка статистических гипотез на основе критериев согласия.

4. Оценка связей между исследуемыми случайными величинами в системе случайных величин.

5. Оценка влияния различных факторов на результаты опыта и др.

Основные понятия математической статистики – генеральная совокупность и выборка.

Генеральная совокупность – это все возможные значения случайной величины, полный мыслимый набор данных. Объем генеральной совокупности N – общее число всех возможных значений. Объем генеральной совокупности очень велик и часто равен бесконечности. Получить из опыта все элементы генеральной совокупности невозможно.

Выборка или выборочная совокупность – часть значений, выбранных из генеральной совокупности наугад, случайно. Объем выборки – n, причем n << N.

Целью исследований является получение характеристик генеральной совокупности.

В математической статистике принят выборочный метод исследования, при котором нужные характеристики генеральной совокупности определяются по данным выборки из нее и принимаются затем в качестве приближенных (оценок) для генеральной совокупности.

Выборка должна быть представительной (или репрезентативной), т. е. ее элементы должны быть получены из генеральной совокупности обязательно случайно, наугад. Кроме того, объем выборки n должен быть достаточным, т. е. достаточно большим.

Распределение случайной величины, полученное на основе выборки, в отличие от теоретического распределения генеральной совокупности, называется статистическим или эмпирическим распределением.

На практике результаты эксперимента (измерений) чаще всего представлены в виде ряда значений случайной величины, которые она реально приняла в процессе эксперимента. Такой ряд называется статистическим рядом и всегда рассматривается как случайная выборка из генеральной совокупности значений наблюдаемой величины. Статистический ряд – первичная форма записи результатов опыта (сводка данных). Он состоит из двух строк, в которых зафиксированы номера измерений i и результаты измерений xi:

	1	2	…	n
			…

n – число наблюдений и объем выборки.

Статистический ряд не содержит видимой закономерности в распределении случайной величины. Он не является рядом распределения, так как нет вероятностей значений , и сами значения – всего лишь точки на числовой оси, расположенные между и , т. е. между минимальным и максимальным значениями случайной величиной, полученными в процессе опыта:

.

Величина называется размахом выборки.

Если объем выборки n мал, то закон распределения случайной величины по данным этой выборки установить невозможно. Можно лишь вычислить (оценить) числовые характеристики случайной величины, т. е. получить, например:

· оценку математического ожидания – среднее арифметическое;

· оценку дисперсии – эмпирическую дисперсию;

· оценку среднего квадратического отклонения – эмпирическое значение среднего квадратического отклонения;

и принять их в качестве приближенных для соответствующих числовых характеристик генеральной совокупности, т. е. принять:

.

Если объем выборки n достаточно велик, то можно оценить также и закон распределения генеральной совокупности значений случайной величины. Для этого нужно обработать результаты опыта (выборку, статистический ряд) соответствующим образом.

2.2. Порядок обработки материалов эксперимента

Следует понимать, что точные значения любых характеристик генеральной совокупности по данным выборки любого объема получить невозможно. Можно лишь с той или иной точностью найти для них приближенные значения – оценки.

Поставим задачу оценки неизвестного закона распределения случайной величины по данным выборки достаточного объема.

Итак, из опыта получены n значений некоторой случайной величины в виде статистического ряда

	1	2	…	n
			…

2.2.1. I этап. Группировка данных

На этом этапе в итоге получим группированный статистический ряд, который будет являться рядом распределения случайной величины.

Для этого весь интервал между и , т. е. размах выборки R, разделим на K интервалов (групп) равной длины . Далее подсчитаем непосредственно, сколько значений случайной величины реально попало внутрь каждого интервала. Получим, таким образом, эмпирические частоты реального появления случайной величины в каждом намеченном интервале.

Границы интервалов рассчитаем следующим образом:

Для подсчета частот составляется рабочая таблица (табл. 4), и прочитываются последовательно – от первого до последнего. Для каждого значения делается в соответствующей графе таблицы отметка – например, вертикальная черта.

Рабочая таблица Таблица 4

№№ инт.	Границы интервалов	Фиксация частот в интервалах	Эмпирические частоты	Середины интервалов
1	2	3	4	6
1		II
2		IIIII IIIII II
…	…	…	…	…
К		IIII
			n

Все значения , которые попали внутрь каждого интервала, заменяют одним значением – серединой этого интервала, т. е. вычисляют