Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 6 )

В геодезических экспериментах, выполняемых на моделях плановых и высотных сетей, обычно моделируются нормально распределенные случайные ошибки измерений.

1.6. Система случайных величин

На практике результат опыта чаще всего описывается не одной случайной величиной, а двумя и более. В этом случае говорят о двумерной или n-мерной случайной величине или о системе случайных величин. Например, абсциссы и ординаты точек попадания при стрельбе в мишень или координаты X и Y точек на карте образуют систему двух случайных величин, а отметки точек нивелирной сети в геодезии – систему n случайных величин.

Для системы случайных величин примем обозначение или . Систему n случайных величин очень удобно рассматривать как n-мерный случайный вектор , т. е.

(56)

Понятие системы означает совместное рассмотрение нескольких случайных величин, как единого целого. Величины, образующие систему, называются элементами этой системы. В зависимости от типа элементов системы, сами системы могут быть дискретными или непрерывными, а также смешанного типа.

При изучении системы недостаточно рассмотреть и изучить в отдельности каждый ее элемент. Необходимо учитывать также связи между этими элементами.

1.6.1. Закон распределения системы случайных величин

Введем понятие состояния системы. Состояние системы определяется тем, какие значения принимают ее элементы. Например, если в дискретной системе возможные значения случайной величины есть и , а возможные значения случайной величины – , и , то возможные состояния системы случайных величин будут представлять всевозможные пары значений , т. е.

Все эти пары несовместны и составляют полную группу событий.

Очевидно, что каждое из возможных состояний система может принять с некоторой вероятностью. Если указать численно значения этих вероятностей, то тем самым будет задан закон распределения системы случайных величин.

Законом распределения системы случайных величин называется любое соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы и вероятностями появления системы в этих областях.

Мы рассмотрим интересующие нас вопросы на примере системы двух случайных величин. Но все нижесказанное можно распространить на систему n случайных величин.

Закон распределения системы двух дискретных величин , в которой элемент принимает значения , а элемент – значения , может быть задан в виде таблицы (табл. 2).

Таблица 2

Закон распределения системы двух дискретных величин

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

В этой таблице – вероятности возможных состояний системы, т. е.

.

Общей формой задания закона распределения системы двух дискретных или непрерывных случайных величин является функция распределения

(57)

означающая вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант (рис. 32), поскольку

.

Очевидно, что при и .

Закон распределения непрерывной системы может быть задан также в форме плотности вероятности , как второй частной производной от функции распределения, предполагаемой непрерывной и дифференцируемой, т. е.

(58)

График плотности вероятности – поверхность распределения (рис. 33).

Обратная связь:

.

С учетом того, что

,

т. е. объем между поверхностью распределения и плоскостью равен единице.

Выражение называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область численно равна двойному интегралу от плотности вероятности, взятому по этой области, т. е.

.

Каждый элемент системы, взятый в отдельности, имеет свое распределение, называемое частным. Так и – частные функции распределения величин и , а
и – частные плотности вероятности этих величин.

Закон распределения одной случайной величины, полученный при условии, что другая случайная величина приняла конкретное значение, называется условным законом распределения этой величины. Так, например, – условный закон распределения случайной величины , а – условная плотность вероятности случайной величины .

Случайные величины в системе называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. Для независимых случайных величин справедливо следующее условие:

(59)

т. е. плотность совместного распределения равна произведению плотностей частных распределений.

Для зависимых случайных величин

(60)

где – условная плотность вероятности.

1.6.2. Числовые характеристики системы
случайных величин

Числовые характеристики системы случайных величин – прежде всего начальные и центральные моменты. Они определяются аналогично соответствующим понятиям случайной величины следующим образом.

Начальным моментом порядка системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения -й степени случайной величины и -й степени случайной величины , т. е.

(61)

Согласно определению, начальный момент для дискретной системы может быть вычислен по формуле

,

а для непрерывной системы – по формуле

.

Центральным моментом порядка системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения -й степени центрированной случайной величины и -й степени центрированной случайной величины , т. е.

(62)

Таким образом, для дискретной системы его можно вычислить по формуле

,

а для непрерывной системы – по формуле

.

Составим таблицу начальных моментов первого порядка и центральных моментов второго порядка (табл. 3).

Таблица 3

Начальные и центральные моменты системы

Обозначение момента	Определение момента	Значение

Из таблицы видно, что начальные моменты и первого порядка суть математические ожидания случайных величин, образующих систему, т. е.

; .

Центральные моменты и есть дисперсии этих случайных величин, т. е.

; .

Центральный смешанный момент второго порядка называется корреляционным моментом связи случайных величин и или ковариацией и обозначается :

(63)

Его значение для дискретной системы можно вычислить по формуле

,

а для непрерывной системы – по формуле

.

1.6.3. Корреляционный момент связи.
Коэффициент корреляции

Корреляционный момент является показателем наличия или отсутствия между случайными величинами и так называемой корреляционной связи. Если он равен нулю, т. е., то случайные величины и называются некоррелированными, а если он отличен от нуля, т. е. , то – коррелированными.

Для независимых случайных величин корреляционный момент связи равен нулю всегда, но обратное утверждение справедливо лишь для нормально распределенных случайных величин и . Вообще же, равенство нулю корреляционного момента связи еще не означает независимости случайных величин, а говорит только об отсутствии между и так называемой линейной корреляционной зависимости.

Выражение корреляционного момента в долях стандартного прямоугольника называется коэффициентом корреляции и является безразмерной величиной:

(64)

Коэффициент корреляции численно характеризует силу корреляционной связи между двумя случайными величинами, ее тесноту в чистом виде, независимо от размерности этих случайных величин. Он может принимать значения, по абсолютной величине не превышающие единицу:

.

При говорят о положительной корреляции между и , а при – об отрицательной.

1.6.4. Корреляционная матрица случайного вектора

Если система содержит n случайных величин (),то их можно объединить в случайный вектор