Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Линевский филиал

,

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

В КОНСПЕКТИВНОМ ИЗЛОЖЕНИИ

Часть 1. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Новосибирск 2006

УДК 537

С 26

, Ащеулов математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении. Часть 1. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-методическое пособие для студентов филиалов СГГА, обучающихся по направлениям 120100 «Геодезия» и 120300 Землеустройство и кадастры».

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре общенаучныъх дисциплин Линевского филиала СГГА – к. т.н., доцентом, к. т.н., профессором. Пособие содержит краткий курс лекций, охватывающий основные вопросы, определенные программой, составленной на основе требований Государственного образовательного стандарта по дисциплинам «Математика» и «Теория математической обработки геодезических измерений», и предназначены для студентов, обучающихся в филиалах СГГА ЛО направлениям 120100 «Геодезия» и 120300 «Землеустройство и кадастры».

РЕЦЕНЗЕНТЫ

–зав. кафедрой специальных дисциплин

Линевского филиала, к. т.н, профессор

– зав. кафедрой вычислительной

математики СГГА, к. т.н, доцент

Печатается по решению Методического Совета Института дистанционного обучения СГГА

Θ Сибирская государственная геодезическая академия (СГГА),

Θ , , 2006

Настоящее издание является 1-й частью учебного пособия по дисциплине «Теория математической обработки геодезических измерений». Оно составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по дисциплине «Математика» и содержит необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики, лежащие в основе теории ошибок измерений, а также в основе математической обработки геодезических измерений и их систем.

Материал представлен в лекционном изложении и содержит большое количество примеров и задач. Там, где это возможно и целесообразно, - в качестве примеров используются геодезические задачи.

Содержание учебного пособия апробировано в течение пяти лет в Линевском филиале СГГА при подготовке бакалавров по направлениям 120100 «Геодезия» и 120300 «Землеустройство и кадастры».

Учебное пособие предназначено для первоначального изучения теории вероятностей и математической статистики.

Для более глубоко изучения рекомендуем обратиться к существующей многочисленной литературе по этим дисциплинам.

Оглавление

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.. 2

1.1. Введение. 2

1.2. Основные понятия и термины теории вероятностей. 3

1.3. Случайное событие. 4

1.3.1. Виды событий в теории вероятностей. 4

1.3.2. Виды случайных событий. 4

1.3.3. Классическое определение вероятности. 7

1.3.4. Статистическое определение вероятности. 8

1.3.5. Теорема сложения вероятностей. 9

1.3.6. Условие независимости событий. 11

1.3.7. Теорема умножения вероятностей. 12

1.3.8. Формула полной вероятности. 14

1.3.9. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. 15

1.3.10. Использование противоположного события при решении задач. 19

1.4. Случайная величина. 20

1.4.1. Дискретная и непрерывная случайная величина. 20

1.4.2. Закон распределения случайной величины.. 21

1.4.3. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.. 22

1.4.4. Способы задания закона распределения непрерывной случайной величины.. 22

1.4.5. Функция распределения вероятностей. 23

1.4.6. Свойства функции распределения. 24

1.4.7. Плотность распределения (плотность вероятности) 27

1.4.8. Свойства плотности вероятности. 28

1.4.9. Числовые характеристики случайной величины.. 29

1.4.10. Математическое ожидание случайной величины.. 30

1.4.11. Дисперсия случайной величины.. 31

1.4.12. Моменты случайной величины.. 34

1.4.13. Равномерное (прямоугольное) распределение. 36

1.4.14. Нормальный закон распределения. 38

1.4.15. Функция Лапласа (интеграл вероятностей) 42

1.4.16. Биномиальный закон распределения. 43

1.4.17. Теорема Муавра – Лапласа. 44

1.4.18. Распределение Пуассона. Пуассоновский поток событий. 45

1.5. Предельные теоремы теории вероятностей. 46

1.5.1. Закон больших чисел. 46

1.5.1.1. Неравенство Чебышева. 47

1.5.1.2. Теорема Чебышева. 48

1.5.1.3. Обобщенная теорема Чебышева. 50

1.5.1.4. Теорема Бернулли. 50

1.5.1.5. Теорема Пуассона. 50

1.5.2. Центральная предельная теорема. 51

1.6. Система случайных величин. 52

1.6.1. Закон распределения системы случайных величин. 52

1.6.2. Числовые характеристики системы случайных величин. 55

1.6.3. Корреляционный момент связи. Коэффициент корреляции. 56

1.6.4. Корреляционная матрица случайного вектора. 57

1.7. Функция случайных величин. 59

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.. 63

2.1. Общие сведения. 63

2.2. Порядок обработки материалов эксперимента. 64

2.2.1. I этап. Группировка данных. 65

2.2.2. II этап. Построение графиков и выдвижение нулевойгипотезы о распределении. 67

2.2.3. III этап. Вычисление эмпирических числовых характеристик и выдвижение статистических гипотез о них. 68

2.2.4. IY этап. Выравнивание статистического ряда (расчет теоретической кривой распределения) 69

2.2.5. V этап. Проверка правдоподобия статистических гипотез. 71

2.2.6. Критерий согласия Пирсона. 72

2.2.7. Проверка гипотез об асимметрии и эксцессе. 73

2.3. Оценивание неизвестных параметров распределения. 73

2.3.1. Общие сведения. Требования к оценкам параметров. 73

2.3.2. Оценка математического ожидания и ее исследование на несмещенность и состоятельность 74

2.3.3. Оценка дисперсии и ее исследование на состоятельность и несмещенность. 75

2.3.4. Интервальная оценка точности параметров. 77

2.3.5. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины.. 79

2.3.6. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.. 80

2.4. Элементы регрессионного анализа. 81

2.4.1. Функциональная и статистическая связь. 81

2.4.2. Определение значимости выборочного коэффициента корреляции. 84

2.4.3. Определение формы связи. Функция регрессии. Уравнение регрессии. 85

2.4.4. Определение коэффициентов уравнения регрессии. 86

2.4.5. Оценка точности регрессии (прогнозов) 87

2.4.6. Оценка точности и значимости коэффициентов регрессии. 88

3. Случайные процессы.. 89

3.1. Случайный процесс и случайная функция. 89

3.2. Основные числовые характеристики случайной функции. 89

3.2.1. Математическое ожидание случайной функции. 90

3.2.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной функции. 90

3.2.3. Корреляционная (автокорреляционная) функция случайной функции. 91

3.3. Стационарный случайный процесс. 92

3.4. Марковские случайные процессы.. 93

3.4.1. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями. 93

3.4.2. Случайные процессы с дискретным и непрерывным временем. Марковская цепь. 93

3.4.3. Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. 97

Приложение

Приложение

Приложение

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Введение

Человек в своей практической деятельности на каждом шагу встречается со случайными явлениями. Без них не протекает ни один процесс.

Случайное явление – такое, которое при воспроизведении (повторении) опыта происходит каждый раз несколько по-иному. Например, в процессе измерения одной и той же величины многократно, мы каждый раз получаем, как правило, близкие, но не одинаковые результаты, так как каждое измерение содержит случайную ошибку измерений, и результаты разных измерений содержат разные ошибки.

Случайные явления, как и вообще всякие явления, вызываются вполне определенными причинами. Эти причины есть следствие взаимной связи всех явлений окружающего мира, их влияния друг на друга. Каждое явление связано с бесчисленным множеством других явлений, и проследить это множество связей, определить действие каждой из них принципиально невозможно. Таким образом, природа случайных явлений заключается в совместном действии бесчисленного множества неучтенных факторов, т. е. других явлений.

При многократных наблюдениях случайных явлений в одинаковых условиях проявляются вполне определенные закономерности. Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается математическая дисциплина – теория вероятностей. Методы теории вероятностей рассматривают явление в целом, изучают результаты совокупного действия всех причинных связей, которые невозможно определить по отдельности.

Теория вероятностей начиналась с исследования результатов азартных игр, которые в различных формах существуют со времен палеолита, и развивалась исходя из потребностей практики. Теория вероятностей в настоящее время имеет мало общего с азартными играми. Сегодня – это универсальная теория, нашедшая применение во многих областях жизни. Она служит фундаментом для многих прикладных научных теорий, в том числе и для теории математической обработки результатов геодезических измерений. Однако схемы азартных игр дают исключительные по простоте и ясности модели случайных явлений, и мы будем ими пользоваться.

1.2. Основные понятия и термины теории вероятностей

Для познания разнообразных явлений реального мира производятся наблюдения, опыты и измерения.

Наблюдения служат основой научных исследований. При них выявляются качественные и количественные признаки наблюдаемого объекта.

Осуществление каждого отдельного наблюдения, опыта или измерения называется испытанием. Совокупность условий, при которых выполняется каждое отдельное испытание, называется комплексом условий.

Результат испытания называется событием. Событие – любой факт, который может произойти в результате испытания.

События принято обозначать заглавными начальными буквами латинского алфавита: A, B, C,… или . Например,

событие;

событие ;

событие .

Каждое событие обладает объективной возможностью наступления.

В любом опыте (испытании) имеется определенное множество возможных исходов этого опыта, называемых элементарными исходами или элементарными событиями. Все возможные исходы опыта составляют пространство элементарных событий этого опыта. Например, - пространство элементарных событий испытания, связанного с подбрасыванием одной монеты или - пространство элементарных событий испытания, связанного с подбрасыванием двух монет.

Любое событие можно рассматривать как подмножество пространства элементарных событий, которому можно сопоставить объективную меру возможности наступления этого события. Так в приведенном выше примере событие , заключающееся в выпадении герба при подбрасывании одной монеты, есть подмножество пространства : , а событие , заключающееся в выпадении хотя бы одного герба при подбрасывании двух монет - подмножество пространства :

1.3. Случайное событие

1.3.1. Виды событий в теории вероятностей

В зависимости от объективной возможности наступления события делятся на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно наступит при данном комплексе условий. Например, событие A, которое заключается в том, чтобы вынуть черный шар из урны (ящика), где находятся только черные шары, - достоверное событие.

Если событие A достоверное, то его обозначают специальным образом, а именно:.

Невозможным называется событие, которое никогда не наступит при данном комплексе условий. Например, событие A, которое заключается в том, чтобы вынуть черный шар из урны (ящика), где находятся только белые шары, - невозможное событие.

Если событие A невозможное, то его обозначают .

Случайным называется такое событие, которое при данном комплексе условий может наступить или не наступить. Например, событие A, заключающееся в том, чтобы вынуть черный шар из урны, содержащей черные и белые шары – случайное событие, или событие , состоящее в появлении положительной ошибки при измерении какого-либо объекта.

1.3.2. Виды случайных событий

Можно различить следующие виды случайных событий.

Простое событие – такое, которое не может быть разложено на составляющие. Например, событие - выпадение “герба” при подбрасывании монеты, или событие , заключающееся в выпадении грани с цифрой 2 при бросании игральной кости (кубика с пронумерованными гранями), или событие , состоящее в появлении положительной случайной ошибки при одном измерении.

Сложное (составное) событие – результат испытания, который описывается несколькими простыми событиями. Например, событие , состоящее в том, что при бросании игральной кости выпадет грань с нечетной цифрой, т. к. в этом случае событие состоит из нескольких простых событий – всех нечетных цифр на гранях игральной кости, а именно .

В свою очередь можно различить сложные события двух видов:

а) Логическая сумма (объединение) простых событий – сложное событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из нескольких событий.

Например, событие - сложное событие, представляющее появление положительной ошибки или в первом измерении, или во втором измерении, или в обоих измерениях, - есть логическая сумма простых событий. Или событие , заключающееся в выпадении грани с четной цифрой при бросании игральной кости.

Событие S, образованное логической суммой (объединением) двух событий записывается следующим образом:

или ,

где - символ логического сложения. Это означает, что .

Событие S, образованное логической суммой трех событий: или , что означает

.

б) Логическое произведение (пересечение) простых событий - сложное событие, которое заключается в совместном наступлении одновременно или последовательно друг за другом нескольких простых событий.

Например, событие - сложное событие, означающее появление положительной ошибки и в первом, и во втором измерениях. Или событие - при бросании двух игральных костей.

Событие П, образованное пересечением нескольких событий записывается следующим образом:

или ,

где - символ логического умножения. Это означает, что .

Равновозможные события – такие, которые имеют одинаковую объективную возможность наступления при данном комплексе условий.

Например, события и - равновозможны при бросании монеты; события , состоящие в выпадении грани с цифрами 1, 2,…, 6 – равновозможны при бросании игральной кости; события и , где - случайная ошибка измерений, - равновозможны при однократном измерении некоторой величины.

Единственно возможные события – такие, когда в результате испытания может наступить одно и только одно из этих событий.

Например, в предыдущем примере события А и В единственно возможны, равно как и события , а также события и .

Не совместные и совместные события – такие, которые в одном испытании не могут или могут наступить вместе. Не совместные события не имеют общих элементарных исходов, а совместные – имеют.

Например, при бросании игральной кости события и не совместны, а события и - совместны.

Система единственно возможных несовместных событий называется полной группой событий. Например, события и при бросании монеты составляют полную группу событий, равно как и события при бросании игральной кости, а также события и при однократном измерении какой-либо величины ( - случайная ошибка измерений). Другими словами, всевозможные исходы конкретного опыта, составляющие пространство элементарных событий этого опыта, образуют полную группу событий. В результате опыта обязательно наступит одно из полной группы событий.

Противоположные события – два простых или сложных события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию А обозначается . Например, события

и

- простые противоположные события, равно как и события и .

События и - сложные противоположные события; события и - противоположные события, первое из которых простое, а второе сложное.

Независимые и зависимые события – такие, у которых объективная возможность появления не зависит или зависит от того, наступило или нет другое событие.

Конечное число несовместных равновозможных событий, составляющих пространство элементарных исходов опыта и образующих полную группу событий, называются случаями, шансами. Например, при бросании монеты возможны только два случая (элементарных исхода): Г - “герб” и Ц - “цифра”; при бросании игральной кости – шесть случаев, а именно: 1, 2, 3, 4 , 5, 6; при измерении какой либо величины возможно появление либо положительной, либо отрицательной случайной ошибки, т. е. возможны два случая.

Про опыт говорят, что он сводится, либо не сводится к схеме случаев (шансов, элементарных исходов).

Элементарный исход опыта называется благоприятствующим данному событию, если его осуществление влечет за собой наступление этого события.

Напомним, что каждое событие обладает объективной возможностью появления.

Численная мера объективной возможности наступления события называется вероятностью события, т. е. вероятность есть числовая функция на пространстве элементарных событий. Вероятность – важнейшая характеристика случайного события.

Существует несколько определений вероятности, мы рассмотрим два из них: классическое и статистическое.

1.3.3. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности не связано с проведением опытов. Вероятность события определяется исходя лишь из условий опыта, не производя его, что ценно само по себе. При этом необходимо, чтобы возможные исходы опыта составляли схему случаев, т. е. были бы все равновозможны, несовместны, образовывали бы полную группу, и их число должно быть конечным. Тогда вероятность события может быть получена по формуле

, (1)

где N – общее число возможных элементарных исходов опыта;

M – число исходов опыта, благоприятствующих наступлению интересующего нас события.

Итак, классическое определение вероятности: вероятность есть отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события, к общему числу всех равновозможных исходов.

Очевидно, что в формуле (1) , т. е. . Другими словами, предельное числовое значение вероятности есть единица.

При , т. е. если все элементарные исходы опыта являются для данного события благоприятствующими, имеем – вероятность достоверного события равна единице.

При , т. е. если ни один из исходов опыта не благоприятствует наступлению интересующего нас события, имеем: – вероятность невозможного события равна нулю.

При имеем – вероятность случайного события может изменяться в пределах от нуля до единицы, не достигая их.

Если обозначить и , то , так как , т. е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Согласно определению, вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна , а вероятность выпадения грани, например, с цифрой шесть при бросании игральной кости – .

При всех достоинствах классическое определение вероятности события имеет существенный недостаток: опыты редко сводятся к схеме случаев, и чаще всего нарушается требование равновозможности исходов. Поэтому формула (1) имеет ограниченное (но достаточно широкое) применение.

1.3.4. Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности связано с проведением опытов и со свойством устойчивости относительной частоты (частости) Q – появления интересующего нас события в опытах:

,

где n – число испытаний, а k – число наступлений события в этих испытаниях (абсолютная частота).

При большом числе испытаний, проводимых в одинаковых условиях, обнаруживается свойство устойчивости относительной частоты Q однородных случайных событий, т. е. наблюдается уменьшение разброса ее значений, получаемых в разных сериях испытаний при увеличении числа испытаний в каждой серии. Так английский ученый К. Пирсон определял относительную частоту появления герба при бросании монеты 12000 и 24000 раз и получил значения соответственно и , т. е. близко к .

Свойство устойчивости относительной частоты отражено в теореме Бернулли, где говорится, что при неограниченном увеличении числа независимых однородных испытаний с большой практической достоверностью можно утверждать, что относительная частота случайного события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в одном испытании, т. е.

,

где и – бесконечно малые числа или

.

На этом основании можно сформулировать статистическое определение вероятности: вероятность – это предел, к которому сходится по вероятности относительная частота Q события при неограниченном увеличении числа испытаний.

Термин «сходимость по вероятности» означает следующее: говорят, что величина сходится по вероятности к величине , если при сколь угодно малом значении вероятность неравенства с увеличением неограниченно приближается к единице.

Практически статистическая вероятность может быть найдена по приближенной формуле

(2)

Недостатком статистического определения вероятности является необходимость выполнения бесконечного числа опытов или достаточно большого их числа, что не всегда возможно, а чаще – вообще невозможно.

Формулы (1) и (2) выражают прямые способы определения вероятностей случайных событий. Они являются главными, но не основными.

Основными следует считать косвенные способы определения вероятностей, позволяющие по известным вероятностям одних событий вычислять вероятности других, с ними связанных. Это позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму. Вся теория вероятностей представляет собой систему таких косвенных способов. К ним относятся, в частности, основные теоремы теории вероятностей.

Эти теоремы используются для вычисления вероятностей сложных событий. Мы рассмотрим две из них – теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей. Строго эти теоремы могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для других событий они применяются как аксиомы, принципы, постулаты.

1.3.5. Теорема сложения вероятностей

Напомним, что суммой (объединением) двух или нескольких событий называется сложное событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (рис. 1, 2).

Теорема: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е.

(3)

Пусть n – общее число всех возможных исходов опыта (рис. 3). Пусть m из них благоприятствуют наступлению события А, а k – наступлению события В. Пусть также l исходов благоприятствуют одновременно событиям А и В. Очевидно, что событию благоприятствуют все исходов. Запишем вероятности событий:

и далее

,

что и требовалось доказать.

Для несовместных событий l = 0 (рис. 4). В этом случае

, (4)

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице – как вероятность достоверного события:

.

Задача 1.

На складе геодезических инструментов в одинаковой упаковке хранятся 25 теодолитов. Из них 15 теодолитов серии 3Т отечественного производства, 4 кодовых теодолита отечественного производства и 6 – импортных. Какова вероятность того, что взятый наугад теодолит окажется отечественного производства?