Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 5 )

; ;

б) ;

1; .

; .

.

в) , т. е. α = –3; β = 3;

1.5; ; ; .

.

Выше мы отмечали, что случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения. Добавим, что математическое ожидание случайной ошибки равно нулю, т. е. . Для вычисления вероятности попадания случайной ошибки в заданный интервал (такая задача на практике возникает очень часто), как, впрочем, и для любой другой случайной величины, имеющей нулевое математическое ожидание, удобнее использовать функцию Лапласа (интеграл вероятностей).

1.4.15. Функция Лапласа (интеграл вероятностей)

Функцией Лапласа или интегралом вероятностей называется функция

или (40)

Геометрически интеграл вероятностей численно равен площади под кривой нормального распределения, опирающейся на участок с симметричными границами (рис. 30):

(41)

где так как .

Свойства функции Лапласа.

1. , так как при пределы интегрирования совпадают.

2. , так как интеграл

.

3. , т. е. функция нечетная.

Установим аналитическую связь функции нормального распределения и функции Лапласа:

.

Обратная связь: .

Вероятность попадания случайной величины в интервал с произвольными границами , вычисляемая через функцию Лапласа, с учетом этой связи может быть получена по формуле:

(42)

Приведем фрагмент из таблиц функции Лапласа, которого вполне достаточно для решения многих задач практики (табл. 1). Более подробные таблицы можно найти, например, в [2].

Таблица 1

Значения функции Лапласа

0	0	2.0	0.955
0.5	0.383	2.5	0.988
1.0	0.683	3.0	0.997
1.5	0.866	3.5	1.000

Задача 18.

Случайные ошибки имеют нормальное распределение с параметрами и , т. е. . Сколько значений вероятнее всего окажется за пределами интервала , если общее число ошибок ?

Решение.

Найдем вероятность попадания случайной ошибки в заданный интервал через функцию Лапласа:

;

.

Вероятность попадания случайной ошибки за пределы указанного интервала равна .

Число ошибок, соответствующее этой вероятности, найдем на основании теоремы Бернулли, согласно которой , откуда .

Таким образом, за пределами указанного интервала вероятнее всего окажется ошибок.

1.4.16. Биномиальный закон распределения

Распределение дискретной случайной величины

в испытаниях Бернулли носит название биномиального распределения, так как вероятности возможных значений этой случайной величины вычисляются по формуле Бернулли, полученной с помощью бинома Ньютона:

.

Напомним, что – вероятность наступления события раз в испытаниях Бернулли, – вероятность наступления события в одном испытании, – вероятность не наступления события в одном испытании, – биномиальные коэффициенты, при вычислении которых принято, что .

Составим ряд распределения этой дискретной случайной величины, т. е. укажем все ее возможные значения и соответствующие им вероятности:

Ряд распределения

	0	1	2	…
				…		.

Опираясь на общие формулы (16) и (19), можно получить следующие простые формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины в испытаниях Бернулли:

(43)

(44)

Среднее квадратическое отклонение, следовательно, равно .

При большом числе испытаний вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится затруднительным и имеет малое практическое значение. В таких условиях чаще возникает задача определения вероятности попадания дискретной случайной величины на заданный интервал ее значений. Эта задача составляет содержание известной теоремы Муавра – Лапласа, в которой утверждается, что предельным случаем биномиального распределения, когда , причем ни одна из величин и не очень мала, – является нормальное распределение.

1.4.17. Теорема Муавра – Лапласа

Если производится испытаний, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то для любого интервала справедливо соотношение:

(45)

где – функция нормального распределения.

Приведем также утверждение локальной теоремы Муавра – Лапласа
о том, что

,

где – плотность вероятности нормального распределения, , т. е. вероятности отдельных значений случайной величины при многократных испытаниях, когда , можно вычислять, не используя формулы Бернулли.

Задача 19.

Найти вероятность того, что в результате 1000 бросаний монеты число выпадения герба: а) будет заключено в интервале от 475 до 525; б) будет равно ровно 525.

Решение.

Первую вероятность найдем по теореме Муавра – Лапласа:

Вторую вероятность вычислим на основании локальной теоремы Муавра – Лапласа:

.

1.4.18. Распределение Пуассона. Пуассоновский
поток событий

На практике имеют место события, которые происходят в случайные моменты времени. Например, пересечение перекрестка транспортными средствами, вызовы скорой медицинской помощи, приходы клиентов в обслуживающую организацию и т. п. Такие события образуют последовательность событий, которая называется потоком событий.

Поток событий называется Пуассоновским, если удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух непересекающихся интервалов времени вероятность появления числа событий в течение одного из этих интервалов не зависит от того, сколько событий произошло в течение другого интервала. Другими словами, для любых, не перекрывающихся отрезков времени, число событий на одном из них не зависит от числа событий на другом.

2. Вероятность появления одного события в течение бесконечно малого интервала времени есть бесконечно малая величина порядка . Другими словами, не имеет значения, далеко или близко от начала отсчета находится наблюдаемый отрезок времени, имеет значение только длина этого отрезка.

3. Вероятность появления более одного события в течение интервала времени есть бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению с . Другими словами, вероятность наступления двух событий на достаточно малом интервале времени является исчезающе малой по сравнению с вероятностью наступления одного события.

Итак, в Пуассоновском потоке событий рассматривается дискретная случайная величина . Возможные значения этой случайной величины на данном интервале времени m: 0 , 1, 2, ….

Распределение Пуассона позволяет определять вероятности того, что за данный период времени появится ровно m событий, т. е.

, (46)

где – среднее число событий, происходящих на данном интервале времени.

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона –

(47)

1.5. Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей основаны на свойстве устойчивости относительной частоты в массовых испытаниях и состоят из двух групп.

Первая группа носит название «Закон больших чисел» и объединяет несколько теорем, в которых устанавливается, что средний результат большого числа испытаний над случайными величинами практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью достоверности.

Из числа теорем, относящихся ко второй группе, назовем «Центральную предельную теорему Ляпунова», в которой определяются условия, при которых возникает нормальный закон распределения.

1.5.1. Закон больших чисел

В числе теорем, объединенных под общим названием «Закон больших чисел», рассмотрим неравенство Чебышева, теоремы Чебышева, теорему Бернулли и теорему Пуассона.

1.5.1.1. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева выражает тот факт, что, если дисперсия случайной величины X мала, то большие отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания маловероятны. В нем утверждается: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не менее любого положительного числа ограничена сверху величиной, т. е.

(48)

Неравенство Чебышева справедливо как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Приведем доказательство для непрерывной случайной величины.

Доказательство. Пусть случайная величина X непрерывна с плотностью распределения . Тогда ее дисперсия по определению равна

.

Выделим на числовой оси вправо и влево от отрезки, длиной каждый (рис. 31).

Если в выражении для дисперсии интеграл по всей длине заменить интегралом по области, лежащей вне отрезка AB, то, поскольку под интегралом стоит неотрицательная функция, – величина интеграла от такой замены может только уменьшиться, т. е.

.

Заменяя на , мы опять только уменьшим величину интеграла. Следовательно,

или .

Но интеграл , т. е. выражает вероятность того, что случайная величина примет значение вне отрезка AB, поэтому

.

Следовательно, поскольку для непрерывной случайной величины вероятность точного равенства равна нулю, можно записать:

.

Неравенство Чебышева дает верхнюю границу вероятности отклонения X от , и на практике полезно лишь при относительно больших значениях , т. е. имеет ограниченное применение.

В общем случае , т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдем за пределы утроенного значения ее среднего квадратического отклонения, не может быть больше .

При нормальном распределении случайной величины или . Практически при нормальном распределении значения случайной величины редко отклоняются от математического ожидания – центра рассеяния ее всевозможных значений – на расстояние, превышающее утроенное значение ее среднего квадратического отклонения (правило «трех сигма»).

Теоретическое значение неравенства Чебышева велико, поскольку оно используется для доказательства других теорем.

Иногда применяется другая запись неравенства Чебышева – для противоположных событий:

(49)

1.5.1.2. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева устанавливает связь между средним арифметическим и математическим ожиданием случайной величины. В ней утверждается, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.

(50)

или

,

где – среднее арифметическое.

Доказательство. Пусть дана некоторая случайная величина X и ее значения , полученные из наблюдений. Пусть дисперсия этой случайной величины конечна, т. е. .

Рассмотрим случайную величину и найдем ее математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание

, т. е.

(51)

– математическое ожидание среднего арифметического совпадает с математическим ожиданием случайной величины.

Дисперсия в силу независимости

, т. е.

– дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии случайной величины.

Применим к случайной величине неравенство Чебышева (49) в записи для противоположных событий:

или

.

Перейдем к пределу при и, с учетом того, что и вероятность не может быть больше единицы, получим

.

1.5.1.3. Обобщенная теорема Чебышева

Обобщенная теорема Чебышева распространяет теорему Чебышева на случай нескольких случайных величин и утверждает, что, если – попарно независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие ограниченные дисперсии, то при неограниченном увеличении числа независимых испытаний над ними среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих величин, т. е.

(53)

Доказательство – аналогичное доказательству теоремы Чебышева.

1.5.1.4. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления случайного события в испытаниях и его вероятностью в одном испытании и утверждает, что при неограниченном увеличении числа n независимых однородных испытаний, выполняемых в постоянных условиях, относительная частота случайного события сходится по вероятности к его вероятности в отдельном испытании, т. е.

(54)

где – абсолютная частота наступления события в испытаниях, а - его вероятность.

Теорема Бернулли является прямым следствием теоремы Чебышева.

1.5.1.5. Теорема Пуассона

Теорема Пуассона обобщает теорему Бернулли на случай, когда испытания проводятся в неодинаковых условиях, и утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний, выполняемых в переменных условиях, относительная частота случайного события сходится по вероятности к среднему арифметическому его вероятностей в отдельных испытаниях, т. е.

,

где , - вероятность наблюдаемого события в - м испытании.

1.5.2. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема Ляпунова утверждает, что закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при соблюдении некоторых ограничений сколь угодно близок к нормальному. Приведем формулировку одной из самых простых форм Центральной предельной теоремы: «Если – независимые случайные величины, имеющие одинаковый закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному». При этом , .

Для достаточно широкого класса условий Центральная предельная теорема с некоторыми ограничениями справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых величин . Центральная предельная теорема Ляпунова устанавливает следующее достаточное условие сходимости закона распределения к нормальному:

(55)

где – центральный момент третьего порядка.

Это условие означает, что значения слагаемых случайных величин должны быть соизмеримы между собой, и роль каждой из них в образовании суммы оставалась бы незначительной по мере увеличения . В этом случае, независимо от характера элементарных случайных величин и распределения, которому подчиняется каждая из них, закон распределения суммарной случайной величины будет близок к нормальному.

Опыт показывает, что когда число слагаемых порядка десяти, закон распределения их сумм можно считать нормальным [2]. Сумма независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение, приобретает почти нормальное распределение уже при .

Центральная предельная теорема Ляпунова положена в основу математического моделирования нормально распределенных случайных чисел при постановке и анализе результатов разнообразных научных экспериментов, в том числе и геодезических, связанных с исследованиями и статистическими испытаниями при проектировании геодезических сетей, при априорной оценке точности геодезических построений с целью их оптимизации и т. д.