Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие им вероятности, т. е.
(16)
где 
, так как появление одного из возможных значений 
есть достоверное событие.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины выражается интегралом:
(17)
где 
– плотность вероятности, а 
– элемент вероятности.
Реальный смысл математического ожидания станет яснее, если установить его связь со средним арифметическим. Выясним эту связь.
Пусть при многократных измерениях получен ряд значений случайной величины X, при этом значение, равное 
, она приняла 
раз, значение 
– 
раз и т. д., и, наконец, значение, равное 
– она приняла 
раз. При этом 
– число всех выполненных измерений. Получим среднее арифметическое 
:
.
Пусть 
, тогда на основании теоремы Бернулли 
, откуда следует, что 
, т. е. при увеличении числа наблюдений среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию случайной величины.
Отметим, что математическое ожидание имеет размерность случайной величины и может быть выражено как положительным, так и отрицательным числом.
Приведем без доказательства свойства математического ожидания:
1. 
– математическое ожидание постоянной величины 
равно самой постоянной.
2. 
– математическое ожидание произведения постоянной величины на переменную равно произведению постоянной на математическое ожидание переменной.
3. 
– математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
4. 
– математическое ожидание линейной функции случайной величины равно линейной функции от математического ожидания.
5. 
– математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин. Это свойство имеет место только для так называемых независимых случайных величин.
6. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно нулю, если – четная функция от 
, т. е., если 
.
1.4.11. Дисперсия случайной величины
Дисперсия – числовая характеристика рассеивания, тесноты группировки всевозможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия характеризует точность измерений, если – результаты измерений некоторой случайной величины 
. Для дисперсии приняты обозначения: 
и некоторые другие.
Определение. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.
. (18)
Согласно определению дисперсии и математического ожидания формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины имеет вид
,
а для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины –
,
где область интегрирования совпадает с областью всех возможных значений случайной величины.
Практически для вычисления дисперсии как дискретной, так и непрерывной случайной величины используется более удобная формула, которая получается после несложных преобразований основной формулы:
т. е.
, (19)
где
– для дискретной случайной величины;
– для непрерывной случайной величины.
Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины.
Свойства дисперсии.
1. 
– дисперсия постоянной равна нулю.
2. 
– дисперсия суммы постоянной и переменной равна дисперсии переменной.
3. 
– дисперсия произведения постоянной и переменной равна произведению квадрата постоянной на дисперсию переменной.
4. 
– дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Тот факт, что дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины, делает ее неудобным показателем степени рассеяния. Поэтому в дополнение к дисперсии вводится еще одна числовая характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение. Для него приняты обозначения 
.
Среднее квадратическое отклонение определяется как положительный квадратный корень из дисперсии, т. е.
(20)
Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии:
1. 
, где .
2. 
.
3. 
.
Задача 14.
Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
| 0 | 1 | 2 |
| 0.2 | 0.5 | 0.3 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение.
1. 
.
2. 
.
.
.
3. 
.
Задача 15.
Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности
.
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение.
1. 
.
2. .
.
.
3. 
.
1.4.12. Моменты случайной величины
Выше мы отмечали, что математическое ожидание и дисперсия – важнейшие из моментов случайной величины, которые (моменты) используются для описания различных ее свойств. Определим понятие этих моментов.
Начальным моментом 
k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины, т. е.
. (21)
Согласно определению, для дискретной случайной величины
,
а для непрерывной –
.
Если 
, то 
, если 
, то 
, если 
, то 
.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины есть начальный момент 1-го порядка этой величины, а дисперсия может быть выражена через начальные моменты 1-го и 2-го порядков:
.
Центральным моментом 
k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания, т. е. математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины:
(22)
где 
– центрированное значение случайной величины .
Центрированная случайная величина получается при переходе от ряда значений случайной величины : 
к ряду 
, где 
. Центрирование равносильно переносу начала координат из нуля в среднюю – «центральную» – точку, т. е. в точку 
.
Согласно определениям центрального момента и математического ожидания для дискретной случайной величины, можно вычислить по формуле
,
а для непрерывной – по формуле
.
Если 
, то 
;
если 
, то µ1
;
если 
, то 
, т. е. дисперсия случайной величины есть центральный момент второго порядка этой величины.
Теоретически при симметричности кривой распределения вообще все центральные моменты нечетных порядков равны нулю, т. е. 
. Это свойство используется для характеристики асимметрии (скошенности) кривой распределения (рис.18), а именно, вводится коэффициент асимметрии 
:
(23)
где 
– центральный момент 3-го порядка, а 
– среднее квадратическое отклонение случайной величины. Коэффициент асимметрии положителен, если правый «хвост» распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
Центральный момент 
4-го порядка используется для характеристики положения вершины кривой распределения относительно эталона – так называемого нормального распределения, для которого отношение 
.
Вводится числовая характеристика 
, называемая эксцессом кривой распределения (рис. 19) и вычисляемая как
. (24)
Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.
Кроме перечисленных основных числовых характеристик для более детального изучения случайной величины используются дополнительные характеристики. К ним отнесем моду 
и медиану 
.
Модой случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует максимальная плотность вероятности, т. е.
. (25)
Другими словами, мода – это наиболее часто встречающееся значение случайной величины (рис. 20).
Медианой называется срединное значение случайной величины, т. е. такое ее значение, при котором вероятность попадания этой величины в область левее точки 
равна вероятности попадания ее в область правее этой точки, т. е.
(26)
Медиана делит площадь под кривой распределения на две равновеликие части (рис. 21).
Далее рассмотрим кратко некоторые конкретные законы распределения случайной величины.
1.4.13. Равномерное (прямоугольное) распределение
При обработке результатов независимых наблюдений часто приходится иметь дело со случайными величинами, значения которых равновероятны в некотором конечном интервале. Например, при измерении произвольного отрезка линейкой с делениями, значения, которые может принять дробная доля, – равновероятны от 
до 
, где – цена деления линейки.
Распределение таких случайных величин называется равномерным или прямоугольным. Такому распределению подчиняются также ошибки округлений.
Плотность вероятности равномерного распределения постоянна и равна 
на отрезке 
(рис. 22). Вне этого отрезка она равна нулю, т. е.
.
Кривая распределения имеет вид прямой линии, отстоящей от оси абсцисс на расстоянии 
. Постоянная зависит от длины интервала 
, а именно: так как площадь, между кривой распределения и осью абсцисс равна единице, т. е. 
, то 
. Таким образом,
(27)
Функция распределения равномерного распределения (рис. 23)
,
то есть
. (28)
Получим математическое ожидание и дисперсию равномерного распределения.
Математическое ожидание:
(29)
Дисперсия:
;
;
(30)
Среднее квадратическое отклонение равномерного распределения
(31)
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал 
можно получить следующим образом:
(32)
Геометрически эта вероятность есть площадь прямоугольника с основанием 
под кривой распределения (рис. 24).
Задача 16.
Непрерывная случайная величина подчинена равномерному закону распределения на отрезке от 0 до 0.5. Написать выражение для плотности распределения и построить график плотности. Найти, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания в интервал от 0.25 до 0.5.
Решение.
1. 
. 
.
Плотность вероятности:
.
2. Математическое ожидание:
;
Дисперсия:
;
Среднее квадратическое отклонение:
.
3. Вероятность попадания в интервал:
.
1.4.14. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике и широко распространен в природе. Это предельный закон в том смысле, что при большом числе испытаний многие законы распределения приближаются к нему.
В большинстве практических задач распределение случайной величины можно считать нормальным. Для нас важно то, что случайные ошибки измерений и сами результаты измерений подчиняются нормальному распределению.
Плотность вероятности 
нормального распределения выражается формулой
(33)
Числовые характеристики – математическое ожидание 
и среднее квадратическое отклонение – являются параметрами нормального распределения, т. е. задают это распределение. У каждой случайной величины в общем случае свои значения параметров и . Если случайная величина подчинена нормальному закону, то можно записать: 
.
График плотности вероятности – нормальная кривая (рис. 25). Она обладает всеми общими свойствами плотности вероятности, т. е. функции , и имеет свои особенности:
1. Кривая симметрична относительно ординаты, проходящей через точку .
2. Кривая имеет один максимум при 
, равный 
.
3. При 
ветви кривой асимптотически приближаются с оси абсцисс.
4. Площадь, заключенная между кривой распределения и осью абсцисс равна единице.
5. Математическое ожидание характеризует положение кривой на оси абсцисс, оно указывает, в области каких значений числовой оси расположена кривая распределения, т. е. всевозможные значения случайной величины . Изменение при 
приводит к смещению кривой распределения вдоль оси абсцисс. При этом форма кривой не изменяется.
6. Среднее квадратическое отклонение характеризует форму кривой распределения. При изменении и 
кривая изменяет свой вид, становясь более плоской при увеличении , и более крутой – при уменьшении , так как площадь под кривой остается равной единице. Смещения 
кривой по оси абсцисс при этом не происходит.
Функция нормального распределения 
имеет вид:
. (34)
Внешний вид графика этой функции (рис. 26) и ее свойства соответствуют графику и общим свойствам функций распределения.
На графике плотности вероятности функция нормального распределения численно равна площади между кривой распределения и осью абсцисс, ограниченной справа линией, проведенной из точки параллельно оси ординат (рис. 27).
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал в принципе может быть получена по общей формуле 
, – через плотность вероятности, или по формуле 
, – через функцию распределения.
Так как плотность вероятности и функция нормального распределения имеют сложный вид, то для упрощения вычислений принято выполнять замену переменных. Введем переменную
(35)
– центрированное нормированное значение случайной величины . Можно показать, что 
. Тогда 
, 
, и получим следующие выражения для и :
(36)
(37)
Тогда можно записать
,
где 
и 
.
Поскольку интеграл 
не выражается через элементарные функции, то значения 
и 
выбираются из специальных таблиц значений функции 
(прил. 1)
(38)
Таким образом, для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал с границами 
применяется формула
(39)
где и .
Если аргумент 
отрицательный, то 
.
Напомним, что на графике функции плотности вероятности вероятность попадания случайной величины в заданный интервал численно равна площади криволинейной трапеции с основанием (рис. 28). Отметим также, что на графике функции распределения эта вероятность равна разности ординат точек 
и 
(рис. 29).
Задача 17.
Случайная ошибка 
подчиняется нормальному закону распределения с параметрами 
и 
, т. е. 
.
Найти вероятность того, что значения случайной ошибки:
а) не превзойдут 
;
б) попадут в интервал от 
до 
;
в) не превзойдут по абсолютной величине .
Решение.
а) 
; 
;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
