Теория математической обработки геодезических измерений в конспективном изложении (стр. 3 )

2. Графический способ – в виде многоугольника распределения (рис. 8) – графика в прямоугольной системе координат, на котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины , а по оси ординат – соответствующие им вероятности .

3. Аналитический способ – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности отдельных значений случайной величины в зависимости от самих этих значений.

Например, формула Бернулли задает так называемый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – число появлений события в испытаниях. Возможные значения этой случайной величины , а вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли

.

Имея аналитическое выражение закона распределения случайной величины, всегда можно получить ряд распределения. Так для биномиального закона

	0	1	2	…		.
				…

При этом .

1.4.4. Способы задания закона распределения непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины нельзя составить ряд распределения, как для дискретной случайной величины, так как в принципе невозможно перечислить все ее возможные значения, принадлежащие некоторому отрезку с границами .

Однако внутри этих границ разные интервалы значений случайной величины имеют в общем случае разные вероятности: (рис. 9).

Поэтому для непрерывной случайной величины имеет смысл только вычисление вероятностей попадания в соседние интервалы, на которые разбивается вся область ее возможных значений, и не имеет смысла вычисление вероятностей отдельных значений, которые, кстати, как мы увидим ниже, вообще равны нулю, и это один из парадоксов теории вероятностей.

Для непрерывной случайной величины возможен только аналитический способ задания закона распределения. Это должен быть такой способ, который по всей области возможных значений случайной величины с легкостью позволял бы вычислять вероятности ее попадания в отдельные интервалы. Такому требованию отвечает так называемая функция распределения вероятностей.

Функция распределения вероятностей случайной величины и связанная с нею плотность вероятности – две формы аналитического задания закона распределения непрерывной случайной величины.

1.4.5. Функция распределения вероятностей

Для простоты вычисления вероятностей попадания непрерывной случайной величины в отдельные интервалы вводится понятие функции распределения вероятностей в виде вероятности случайного события, заключающегося в том, что случайная величина примет значение левее точки на числовой оси, т. е.

(12)

где – некоторая текущая переменная, с изменением которой меняется и значение функции (рис. 10).

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньше заданного .

Эту функцию называют также интегральным законом распределения вероятностей или интегральной функцией.

1.4.6. Свойства функции распределения

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т. е. .

Справедливость этого свойства вытекает из того, что определена как вероятность случайного события , а вероятность не может быть отрицательной.

2. Вероятность появления случайной величины в интервале , полузамкнутом справа, равна разности значений функции распределения в концах этого интервала, т. е.

. (13)

Доказательство. Выберем на числовой оси две точки и (рис. 11) и рассмотрим события:

, и .

Очевидно, что . По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать, что или , т. е. , поскольку , а согласно определению функции распределения как .

Таким образом, доказана важнейшая формула (13), позволяющая вычислять вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал с любыми границами .

Замечание. Если будем неограниченно уменьшать участок, полагая, например, что , то в пределе получим вероятность того, что случайная величина примет отдельное значение : .

Если в точке функция имеет разрыв (дискретная случайная величина), то этот предел равен значению скачка функции в точке .

Если же функция в точке непрерывна (непрерывная случайная величина), то этот предел равен нулю.

Таким образом, для непрерывной случайной величины вероятность любого конкретного значения равна нулю, т. е..

3. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. при . Это свойство вытекает из свойства 2. Имеем формулу , но, так как вероятность любого события неотрицательна, то , а это значит, что .

4. Значение и , поскольку событие в пределе, т. е. при – достоверное событие, вероятность которого равна единице, а попадание случайной величины левее точки при – невозможное событие, вероятность которого равна нулю.

Функция распределения вероятностей существует как для непрерывной, так и для дискретной случайной величины – это универсальный способ задания закона их распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения случайной величины, которые меньше заданного .

Задача 11.

Производятся два выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле . Построить функцию распределения числа попаданий.

Решение.

Имеем дискретную случайную величину

Построим для нее ряд распределения, учитывая, что все возможные значения этой случайной величины равны 0, 1 и 2, а вероятности этих значений получим по формуле Бернулли (9): .

Ряд распределения:

	0	1	2
	0.49	0.42	0.09

.

Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений в таблице и построим график функции распределения.

Таблица значений График функции

№№
1	0
2	1
3	2
4

График функции распределения любой дискретной случайной величины есть всегда прерывная ступенчатая линия, скачки которой происходят в точках, совпадающих с возможными значениями случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма ординат всех скачков равна единице.

С увеличением числа возможных значений случайной величины и уменьшением интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки меньше, – ступенчатая линия становится более плавной. Дискретная случайная величина постепенно приближается к непрерывной случайной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

Подчеркнем, что график любого закона распределения вероятностей имеет одинаковый внешний вид, т. е. для дискретной случайной величины это всегда ступенчатая линия, а для непрерывной случайной величины – плавная кривая, ограниченная по оси ординат значениями ноль и единица (рис. 12 и 13).

Задача 12.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины:

.

Найти вероятность попадания случайной величины в интервал и построить график функции распределения.

Решение.

Вероятность попадания случайной величины в интервал найдем по формуле , т. е.

.

Для построения графика функции распределения найдем ряд ее значений в таблице:

	0	1	2			5	6

Построим график функции распределения:

.

1.4.7. Плотность распределения (плотность вероятности)

Понятие плотности распределения – функция – вводится только для непрерывной случайной величины и определяется как производная первого порядка от функции распределения , которая предполагается непрерывной и дифференцируемой, т. е.

(14)

Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется случайная величина в данной точке. Поэтому функцию и называют плотностью распределения или плотностью вероятности, а также дифференциальным законом распределения случайной величины.

Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения.

В отличие от функции распределения, имеющей одинаковый внешний вид графика для всех распределений, кривая распределения для разных законов имеет разную форму, что более наглядно отражает различие между этими законами.

Например, на рис. 14 изображены графики плотности вероятностей: а) для нормального, б) для равномерного, в) для экспоненциального (показательного) распределений.

Рис. 14. Графики плотности вероятности для различных законов распределения

Однако, несмотря на различие графиков, общие свойства функции плотности вероятности одинаковы для всех законов распределения.

1.4.8. Свойства плотности вероятности

1.  Плотность вероятности неотрицательна, т. е. .

Это следует из того, что она определена как производная от неубывающей функции .

Геометрически это свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс.

2.  Функция распределения равна интегралу от плотности распределения в интервале от до , т. е. , что очевидно, так как по определению .

Геометрически на графике плотности вероятности функция распределения численно равна площади, ограниченной кривой распределения
и ординатой, проходящей через точку (рис. 15).

3.  Вероятность попадания случайной величины на участок равна интегралу от плотности вероятности, взятому по этому участку, т. е.

(15)

Доказательство.

На основании свойства функции распределения имеем

, но , а ,

поэтому

Геометрически вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции с основанием (рис. 16).

Положив и , получим узкий прямоугольник, площадь которого называется элементом вероятности (рис. 17).

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, т. е. . Это свойство следует из свойства 2 и из того, что .

Геометрически это означает, что полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Задача 13.

Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью вероятности

.

Построить график плотности распределения и вычислить вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до.

Решение.

Для построения графика найдем ряд значений функции :

	0
		0.35	0.5	0.35	0

Построим график и вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле , где , а :

1.4.9. Числовые характеристики случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но его определение требует проведения большого количества испытаний.

На практике число наблюдений сравнительно невелико и часто не достаточно для надежного определения закона распределения, как исчерпывающей характеристики интересующей нас случайной величины. Поэтому в большинстве практических случаев для характеристики любой случайной величины вместо закона ее распределения используют некоторые числовые параметры, которые в сжатой форме выражают наиболее существенные особенности распределения.

Такие параметры называются числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся так называемые начальные и центральные моменты, и важнейшие из них носят название математического ожидания и дисперсии.

1.4.10. Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание – числовая характеристика положения случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Другими словами – это центр рассеяния случайной величины. Приняты следующие обозначения математического ожидания: и некоторые другие.