Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 3 )

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определители 2 и 3 порядков, их свойства и вычисление.

1.  Теорема Крамера. Решение систем методом Крамера.

2.  Матрицы, сложение матриц, умножение на число.

3.  Обратная матрица. Решение систем матричным способом.

4.  Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

5.  Скалярное произведение двух векторов, его свойства и применение.

6.  Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.

7.  Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

8.  Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.

Дифференциальное исчисление

9.  Функция, область ее определения. Исследование функции по графику.

10.  Преобразования графика функции.

11.  Производная. Определение и геометрический смысл.

12.  Производная сложной функции.

Интегральное исчисление

13.  Простейшие табличные интегралы и их доказательство.

14.  Методы интегрирования подстановкой и по частям.

15.  Основные свойства определенного интеграла.

16.  Теорема Ньютона-Лейбница.

17.  Вычисление площади плоской фигуры и объема тела.

Дифференциальные уравнения

18.  Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

19.  Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.

20.  Дифференциальные уравнения вида .

21.  Уравнение второго порядка вида .

22.  Дифференциальные уравнения второго порядка вида

23.  Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с числовыми коэффициентами. .

Ряды

24.  Необходимый признак сходимости.

25.  Геометрическая прогрессия и обобщенный ряд Дирихле. Признаки сравнения.

26.  Признак Даламбера сходимости числовых знакоположительных рядов.

27.  Радикальный признак Коши сходимости числовых знакоположительных рядов.

28.  Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

29.  Ряд Тейлора для дифференцируемой функции.

Элементы теории вероятностей и статистики

31. Основные понятия теории вероятностей.

32. Свойства вероятностей.

33. Элементы комбинаторики.

34. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

35. Формула полной вероятности.

36. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

37. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.

38. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.

39. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.

1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденных зав. кафедрой до начала сессии) – нет.

1.13. Примерная тематика рефератов – нет.

1.14. Примерная тематика курсовых работ – нет.

1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – нет.

1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.

1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по данной дисциплине – нет.

РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения – нет.

РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.

Линейная алгебра.

Лекция 1. Матрицы, определители и их свойства. Сложение и умножение матриц.

План.

Основные понятия. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. (ПК, проектор, слайд фильмы). Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Основные понятия:

Матрица, ее элементы. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Треугольная матрица. Нулевая матрица. Вектор-столбец (вектор-строка). Транспонированная матрица. Ступенчатая матрица. Определители первого, второго и п-го порядка. Минор элемента определителя. Алгебраическое дополнение. Вырожденная и невырожденная матрицы. Союзная (присоединенная) матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Базисный минор. Свойства ранга матрицы.

Матрицы. Матрицей А размера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений (называемых элементами матрицы), где , .

Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера . Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.

Элементарные преобразования матриц:

— умножение некоторого ряда матрицы на число λ ≠ 0;

— прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;

— перестановка местами двух параллельных рядов.

Определители.

Определитель второго порядка задается равенством .

Определитель третьего порядка задается равенством .

Свойства определителей.

1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.

2. Если какие-либо две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на про­извольное число, то и весь определитель умножится на это число.

4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.

5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Невырожденные матрицы.

Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении которых стоит данный элемент).

Алгебраическое дополнение элемента – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.

Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.

Обратная матрица – матрица, такая что , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению, составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; – матрица, обратная A.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

3.  Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 2. Системы линейных уравнений.

План.

Основные понятия. Исследование систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы). Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы). Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Основные понятия:

Система линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты и свободные члены системы. Основная и расширенная матрицы системы. Решение системы. Совместная и несовместная системы. Определенная и неопределенная система. Эквивалентные системы. Однородная и неоднородная системы. Исследование систем линейных уравнений. Определитель системы. Формулы Крамера. Матричный способ решения системы. Этапы решения системы методом Гаусса. Прямой и обратный ход.

Система линейных алгебраических уравнений – система вида .

Числа , – коэффициенты системы. Свободные члены системы – числа .

Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку.

Основная матрица системы – .

Расширенная матрицы системы – матрица системы , дополненная столбцом свободных членов. Свободные члены системы – числа .

Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Определенная система – система, имеющая только одно решение. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна.

Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.

Однородная система – система, в которой .

Формулы Крамера.

.

, , … , , где – определитель, получающийся из заменой i-го столбца на столбец свободных членной.

Решение системы линейных уравнений: , , … , , где .

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

1. Находим . Если , то система совместна и определена.

2. Находим матрицу , обратную к матрице системы.

3. Для этого находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

4. Записываем матрицу .

5. Находим матрицу : .

6. Находим решение системы уравнений по формуле:

Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных уравнений). Один из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

— умножение некоторого уравнения системы на число λ ≠ 0;

— прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

— перестановка местами уравнений.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

3.  Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 – ч. 1, 2.

5.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 3. Векторная алгебра. Произведение векторов.

План.

Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение векторов, его свойства. Площади параллелограмма и треугольника. Смешанное произведение векторов, его свойства и применение. Объем параллелепипеда.

Основные понятия:

Скалярные и векторные величины. Вектор. Длина (модуль) вектора. Единичный вектор. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Сумма векторов и разность векторов. Правила сложения. Произведение вектора на число. Признаки коллинеарности и компланарности векторов. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Угол между векторами. Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Радиус-вектор точки. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение векторов. Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов.

Векторы.

Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением. Площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.

Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Сила, скорость, ускорение и т. д.

Вектор – направленный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Обозначение: или . Вектор , называется противоположным вектору .

Длина (модуль) вектора – длина отрезка АВ. Обозначение: или .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается: . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается: .

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. они могут быть направлены одинаково и противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые длины. . Равные векторы называются также свободными. Вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

.

Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векто­рами.

Операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число.

Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Сумма двух векторов и – вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .

Правило треугольника: .

Правило параллелограмма: (где – параллелограмм).

Правило многоугольника – правило сложения трех и более векторов.

Разность векторов и – вектор , такой что .

Правило вычитания векторов: .

Произведение вектора на число – вектор, который имеет длину , его направление совпадает с направлением вектора , если и имеет противоположное направление, если .

Проекция точки М на ось l – основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось. Проекция вектора на ось l – положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены. Обозначение: .

Основные свойства проекций:

1. . Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. . При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Угол между вектором и осью l (или угол между двумя векторами):

Разложение вектора по ортам координатных осей.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. выделим на координатных осях Оx, Оy, Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно. Пусть .

Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов: .

. Проекции векторов обозначим , , .

Формула разложения вектора по ортам координатных осей: .

Координаты вектора – числа , проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю.

Векторное произведение неколлинеарных векторов и – вектор , такой что 1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. , ; 2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. ; 3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов, и – число, равное скалярному произведению вектора на вектор на вектор .

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

6.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Аналитическая геометрия.

Лекция 4. Метод координат на плоскости. Прямая на плоскости.

План.

1.  Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. (ПК, проектор).

2.  Основные приложения метода координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. (ПК, проектор).

3.  Преобразование систем координат на плоскости. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. (ПК, проектор).

4.  Уравнение линии. Уравнения прямой на плоскости. (ПК, проектор).

5.  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. (ПК, проектор).

6.  Плоскость и прямая в пространстве.

Основные понятия:

Система координат. Прямоугольная (декартова) система координат. Координатная плоскость. Координаты точки. Полярная система координат. Полярные координаты, полярный радиус, полярный угол. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Преобразование системы координат. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. Формулы поворота осей. Уравнение линии. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Полярное уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой. Угол между прямыми в плоскости. Расстояние от точки до прямой. Уравнение поверхности. Уравнение сферы. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Произвольной точке M ставят в соответствие: ρ – расстояние от точки M до полюса O, – угол, на который надо повернуть луч OA до совмещения с лучом OM (0≤ <2π). ρ и называются полярными координатами точки M (ρ – полярный радиус, – полярный угол), связь их с декартовыми координатами: x = ρ cos , y = ρ sin , . Координатные линии – концентрические окружности (ρ = const) и лучи ( = const). Полярная система координат удобна при исследовании ряда кривых, фигур, а также при изучении циклических процессов, вращательных движений, крутильных колебаний и т. д.

Параллельный перенос осей координат.

Поворот осей координат.

Формулы поворота осей: .

Преобразование системы координат (параллельный перенос осей координат и поворот осей).

Расстояние между двумя точками и : .

Деление отрезка АВ: и в данном отношении : и .

Если , т. е. АМ = МВ, то и .

Площадь треугольника АВС с вершинами , , : .