Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 6 )

, где – число элементарных исходов, благоприятствующих А, – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятностей:

1.  Вероятность достоверного события равна единице.

Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

2.  Вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

3.  Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, .

Вероятность любого события удовлетворяет неравенству .

4.  Если событие А влечет за собой событие В, то .

Если событие А влечет за собой событие В, то число исходов, благоприятствующих событию В, не меньше числа исходов, благоприятствующих событию А.

Элементы комбинаторики

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и др. областях знания, т. к. в науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.

Пример. Из группы теннисистов, в которую входит четыре человека – Иванов, Петров, Сидоров и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим все пары, в которые входит Иванов. Получим три пары: ИП, ИС, ИФ.

Все пары, в которые входит Петров, но не входит Иванов: ПС, ПФ.

Все пары в которые входит Сидоров, но не входят Иванов и Петров: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары в которые входит Федоров, уже составлены.

Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

При решении задачи мы воспользовались способом рассуждений, который называется перебором возможных вариантов.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Выпишем все такие числа.

Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 2, 3, 5. Запишем, например, на втором месте цифру 2. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 3 или 5. Получим два числа 123 и 125. Если на втором месте записать цифру 3, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 2 или 5. Получим числа 132 и 135. Если на втором месте написать цифру 5, то получим числа 152 и 153. Мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1, их всего 6:

123, 125, 132, 135, 152, 153.

Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2, с цифры, 3 и с цифры 5. Запишем их в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:

123, 125, 132, 135, 152, 153

213, 215, 231, 235, 251, 253

312, 315, 321, 325, 351, 352

512, 513, 521, 523, 531, 532

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 5 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.

Проведенный перебор вариантов можно изобразить с помощью схемы, которую называют деревом возможных вариантов.

Полученный ответ можно получить, не выписывая сами числа. Первую цифру можно четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Значит, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению , т. е. 24.

Комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами, затем третий элемент – способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению .

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Пример. Пусть имеется три книги . Эти книги можно расставить на полке по-разному.

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Каждое из этих расположений называется перестановкой из трех элементов.

Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначают символом (читается «из n»).

Число всех возможных перестановок , где .

По определению, считают, что 1!=1 и 0!=1.

В примере: .

Пример. Сколькими способами могут быть расставлены пять студентов на пяти беговых дорожках?

Число способов равно числу перестановок из 5 элементов.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по обозначают (читается «из n по »).

Число всех возможных размещений.

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по обозначают (читается «из n по »).

Число сочетаний.

Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Пример. Из 15 студентов группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Если два события несовместные, то – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. Событие состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .

Док-во: Пусть п – общее число возможных элементарных исходов испытания; – число исходов, благоприятствующих событию А; – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно . Следовательно, .

Так как и , то .

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А) .

Вероятность появления синего шара (событие В) .

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность .

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

События А стрелок попал в первую область и В – стрелок попал во вторую область – несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность .

Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: .

Док-во: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то .

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: .

Левые части равенств равны, значит, равны и их правые части. .

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с работами ЕГЭ из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

События – пакет получен из города А, пакет получен из города В, пакет получен из города С – образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: .

отсюда искомая вероятность .

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, другое принятии обозначать .

Пример. Попадание и промах при выстреле по цели противоположные события. Если А – попадание, то – промах.

Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События – появилась стандартная деталь и появилась нестандартная деталь – противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Док-во: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q. В силу теоремы о сумме вероятностей противоположных событий .

Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, . Найти вероятность того, что день будет ясным.

События – день дождливый и день ясный – противоположные, поэтому искомая вероятность .

При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле: .

Пример. В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

События – среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная, и среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной – противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе – через. .

Найдем . Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из п деталей, равно . Число нестандартных деталей равно ; из этого числа деталей можно способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна . Искомая вероятность .

Принцип практической невозможности маловероятных событий

При решении практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Однако, считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет, нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, сто событие А наступит.

Появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает.

Принцип практической невозможности маловероятных событий: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно применяют уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным, уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. Если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то – годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример. Если А, В, С – появление герба соответственно в первом, втором и третьем бросании монеты, то – выпадение герба во всех трех испытаниях.

Условная вероятность

Случайное событие – событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна =, где .

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: .

Доказательство. По определению условной вероятности, .

Отсюда . (*)

Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим , или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, . (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

(***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

,

где т – вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трех событий .

Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

.

Подставим это соотношение в равенство , получим .

Отсюда следует, что , т. е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равно его безусловной вероятности. Др. словами, событие А не зависит от события В.

Таким образом, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. Это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид , т. е. если события А и В независимы, то вероятность одновременного их наступления равна произведению их вероятностей.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.

События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность

.

Если события А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и .

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. например, события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: .

Независимость событий в совокупности влечет за собой попарную независимость этих событий.

Если события независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.

Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Вероятность появления герба первой монеты (событие А) . Вероятность появления герба второй монеты (событие B) . События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна .

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого их них известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий : .

Док-во. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: .

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим , или .

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Обозначим через А событие – при п выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз. События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д. , независимы в совокупности, поэтому применима формула . По условию, , , значит, , получим , отсюда .

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10: ; .

Учитывая, что , имеем .

Получили , , т. е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Следствия теорем сложения и умножения.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Док-во: По условию, события А и В – совместны, то событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: , или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий: .

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем: . Отсюда . Аналогично имеем . Отсюда .