Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 5 )

Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство .

Лекция 9. Определенный интеграл, его свойства.

План.

Понятие определенного интеграла и условия его существования. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. (ПК, проектор). Тео­рема Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Площади и объемы. (ПК, проекторы).

Основные понятия:

Определенный интеграл. Криволинейная трапеция.

Введение понятия определенного интеграла.

Интегральная сумма. Пусть функция определена на отрезке и на этом отрезке произвольно выбраны точки , так что – выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале произвольным образом выбрана точка , . Сумма вида , где , называется интегральной суммой функции на отрезке .

Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю: . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок – областью (отрезком) интегрирования.

Интегрируемая функция. Если функция непрерывна на отрезке , то предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек (теорема существования определенного интеграла). Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . Если функция ограничена на отрезке и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Формула Ньютона-Лейбница. .

Криволинейная трапеция.

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции , неотрицательной и непрерывной на отрезке , отрезком оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси Ox в точках a и b, т. е. прямыми и .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.

Дифференциальные уравнения.

Лекция 10. Элементы теории дифференциальных уравнений.

План.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения I-го порядка с разде­ляющимися переменными.

Основные понятия:

Дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее искомую функцию одного переменного, её производные различных порядков и независимую переменную. Порядок уравнения определяется старшим порядком производной функции, входящей в это уравнение.

Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями; задача состоит в отыскании решения (интеграла), удовлетворяющего начальным условиям.

Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые на решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. или .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Уравнение Бернулли. Уравнение вида , где называется уравнением Бернулли.

Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента. Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант.

Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно определяются начальными условиями).

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Лекция 11. Ли­нейные и однородные уравнения I-го порядка.

План.

Ли­нейные и однородные уравнения I-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф­фициен­тами.

Основные понятия:

Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде , где и – заданные функции, в частности – постоянные.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные).

Однородная функция п-го порядка. Функция называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е. .

Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Ряды.

Лекция 12. Числовые ряды.

План.

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходи­мый и достаточный признаки сходимости знакоположительных рядов. При­знаки сравнения рядов. Признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся и знако­переменные числовые ряды. Признак Лейбница.

Основные понятия:

Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Знакоположительные ряды. Знакочередующиеся и знако­переменные числовые ряды.

Числовой ряд – выражение вида , где – действительные числа, называемые членами ряда, – общим членом ряда.

Знакопеременный ряд – числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.

Знакочередующийся ряд – ряд вида , где для всех , т. е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны.

Расходящиеся ряды. Если не существует или , ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. записывают: .

Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т. е. ряд вида .

Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда ,обозначается , т. е. .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Лекция 13. Степенные ряды.

План.

Степенные ряды. Основные свойства сте­пенных рядов. Разложение в ряд Маклорена основных функ­ций. Формула и ряд Тейлора. При­ближенное вычисление с помощью рядов.

Основные понятия:

Степенной ряд. Область сходимости. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. ряд . Числа называют коэффициентами ряда, – действительная переменная.

Интервал сходимости степенного ряда – интервал , во всех внутренних точках которого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если , то интервал сходимости . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится..

Ряд Маклорена: – разложение функции по степеням х.

Ряд Тейлора: – разложение функции по степеням .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Элементы теории вероятностей и статистики.

Лекция 14. Случайные события.

План.

1.  Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей.

2.  Элементы комбинаторики.

3.  Теоремы сложения и умножения вероятностей.

4.  Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

5.  Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.

Основные понятия:

Событие. Достоверные, невозможные и случайные события.

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, возникающих при рассмотрении большого числа однотипных (однородных) случайных явлений.

Такие закономерности, присущие массовым случайным явлениям, встречаются в самых разнообразных ситуациях: при анализе результатов многократного бросания шестигранной игральной кости, при выяснении процента брака в различных промышленных производствах, при анализе народонаселения, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления, в теории стрельбы, при изучении закономерностей взаимодействия большого числа частиц в физике и химии и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества продукции и для многих других целей.

Теория вероятностей возникла примерно в 17 веке. Ее первые шаги связаны с именами Паскаля, Ферма и Бернулли. Первоначально теория вероятностей занималась преимущественно задачами, относящимися к различным азартным играм (карты, кости и т. д.). Дальнейшему ее развитию способствовали запросы естественных и социальных наук и техники (теория ошибок наблюдения, теория артиллерийской стрельбы, учет народонаселения, развитие статистической физики). Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. (на рубеже 18-19 веков). С середины 19 века фундаментальную роль в развитии теории вероятностей стала играть российская математическая школа (работы , , ) В 20 веке в развитие теории вероятностей выдающийся вклад внесли работы , , .

В теории вероятностей основную роль будет играть понятие события.

Событием называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло оно или не произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Пример. При бросании игральной кости можно рассматривать такие события: выпадение одного очка, выпадение четного числа очков, выпадение менее трех очков и т. д.

При этом каждый раз рассматриваются: 1) некоторый комплекс условий, т. е. проведение испытания (например, бросается игральная кость, стрелок стреляет по мишени) и 2) некоторая фиксированная система событий, которые могут произойти или не произойти при осуществлении данного комплекса условий (выпадение определенного количества очков, попадание или промах).

Виды событий: достоверные, невозможные и случайные.

1.  Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного очка – достоверное событие.

2.  Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта не может произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение больше 6 очков – невозможное событие.

3.  Случайным называют событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение 3 очков – случайное событие.

Различные события могут быть связаны между собой определенными соотношениями:

1. Если при каждом осуществлении данного комплекса условий, при котором наступает событие А, наступает и событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В, и пишут или .

Пример. При бросании игральной кости событие «выпало два очка» влечет за собой событие «выпало четное число очков».

2. Если событие А влечет за собой событие В и в то же время событие В влечет за собой событие А, то события А и В называют равносильными, и пишут .

Пример. При бросании игральной кости событие А, состоящее в выпадении четного числа очков, равносильно событию В, состоящему в невыпадении нечетного числа очков.

Произведением двух событий А и В называется событие, обозначаемое символом или и состоящее в одновременном наступлении событий А и В.

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении меньше четырех очков, то событие означает выпадение двух очков.

Событие, состоящее в том, что наступило хотя бы одно из событий А и В, называется их суммой и обозначается символом или .

Пример. Из колоды карт, содержащей 36 карт, извлекается

случайным образом одна карта. Будет ли это король или пика? Имеется 4 короля и 9 пик, среди которых одна – король пик – встречается 2 раза. Благоприятных вариантов 9 + 4 – 1 = 12.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается символом .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении более двух очков, то событие означает выпадение двух очков.

Пример. Событие заключается в том, что вытаскивается любой король, кроме пикового.

Если А – какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие А не наступило, называется противоположным событию А и обозначается символом .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, то событие состоит в выпадении нечетного числа очков.

Все достоверные события равносильны между собой и все невозможные события равносильны между собой. Поэтому все достоверные события будем обозначать одной и той же буквой Е, а любое невозможное событие – одной и той же буквой N.

Противоположные события А и связаны между собой соотношениями , .

События А и В называются несовместными (несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т. е. если . Др. словами, события несовместны, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – несовместные.

Аналогично п событий называются попарно несовместимыми, если при всех .

Если и события попарно несовместны, то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи .

События образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из них, т. е. если . Др. словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Частный случай. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Полные группы попарно несовместимых событий – это такие группы событий , которые удовлетворяют условиям , при всех .

Пример. При бросании игральной кости события , состоящие в выпадении соответственно 1, 2, …, 6 очков, образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: 1. выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй, 2. выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй, 3. выигрыш выпал на оба билета, 4. выигрыш не выпал на оба билета. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление герба и появление решки при бросании монеты – равновозможные события, т. к. предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Рассматривая определенный комплекс условий и определенную группу S событий, которые могут произойти при реализации этого комплекса условий, предполагают, что эта группа событий удовлетворяет двум условиям: 1) если группе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также и события , и , 2) группе S принадлежат достоверное и невозможное события. Группу S событий, удовлетворяющих требованиям 1 и 2, называют полем событий.

Классическое определение вероятности события А

Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу n попарно несовместных и равновероятных событий, то вероятностью события называется число .

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Пример. Если бросается монета, то возможны два равновероятных Результата: выпадение герба и выпадение решки. Эти события несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого из этих событий равна .

Пример. При бросании игральной кости возможны 6 равновероятных исходов, образующих полную группу попарно несовместных событий: выпадение 1, 2. …, 6 очков. Вероятность каждого из этих событий равна .

Пример. При бросании игральной кости событие А состоит в выпадении четного числа очков. Это событие подразделяется на три частных случая: выпадение 2, 4, и 6 очков. Поэтому , и искомая вероятность равна .

В теории вероятностей принята следующая терминология. Каждое осуществление данного фиксированного комплекса условий называется испытанием, а полная группа попарно несовместных и равновероятных событий, которые могут произойти при этом испытании, называется полной группой возможных исходов испытания. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом. Те из возможных исходов, на которые подразделяется событие А, называются исходами, благоприятствующими событию А. Др. словами, е элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими событию А.

В этих терминах классическое определение вероятности звучит так: вероятность события А равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов испытания.