Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 8 )

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В аналитической геометрии используют два основных приема: первый – зная свойства геометрического образа, находят уравнение (уравнения), связывающее координаты множества точек этого образа; второй – зная уравнение (уравнения), связывающее координаты точек геометрического образа, исследуют свойства последнего и делают геометрическое построение. Гипербола – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Декартовы координаты точки M (x, y,z) равны: x – величина ортогональной проекции вектора OM на ось абсцисс, y, z – соответственно на оси ординат и аппликат. Координатная плоскость – плоскость, в которой расположена система координат. Координаты – числа, взятые в определённом порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, на поверхности или в пространстве. Координаты точки М в системе координат Оху – координаты радиус-вектора . Кривые второго порядка – линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат , где А, В и С – действительные числа и по крайней мере одно их них отлично от нуля. Окружность радиуса с центром в точке – множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию . Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Параллельный перенос осей координат – переход от системы координат Оху к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными. Поворот осей координат – преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Полярные координаты точки М – числа r (расстояние от полюса О до точки М) и (угол, образованный отрезком ОМ с полярной осью) – . r – полярный радиус, – полярный угол. Преобразование системы координат – переход от одной системы координат в какую-либо другую. Прямоугольная (декартова) система координат – прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям координат равны, задается двумя (тремя) взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Если нет специальных оговорок, решаются задачи и строятся графики функций в декартовой прямоугольной системе координат; например, в пространстве Oxyz оси координат Ox, Oy, Oz – оси абсцисс, ординат, аппликат соответственно. Равносторонняя гипербола – гипербола, у которой полуоси равны (). Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Система координат на плоскости – способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Угол между прямой и плоскостью – любой их двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямыми в плоскости – наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Уравнение линии (или кривой) на плоскости Оху – уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат Охуz – уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Дифференциальное исчисление.

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа найдется такой номер , что для всех , начиная с этого номера, выполняется неравенство . Последовательность называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа найдется такой номер , что для всех , начиная с этого номера, выполняется неравенство . Обозначается: б. б. . Бесконечно малая последовательность. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер , что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство . Обозначается: б. м. . Возрастающая последовательность – последовательность , если , т. е. . Возрастающая функция на множестве – если для любых значений таких, что , справедливо неравенство . График функции и – множество всех точек плоскости с координатами , где . Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум). Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов. Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных. Монотонная последовательность – неубывающая или невозрастающая последовательность. Невозрастающая последовательность – последовательность , если , т. е. Неограниченная последовательность – последовательность , если для любого найдется такой ее член , что . Непрерывная на промежутке функция. Функция называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. При этом если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. Непрерывная функция – функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента (графически представима сплошной линией). Основные элементарные функции непрерывны на множестве их задания. Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и . Или: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и , где (приращение аргумента), (приращение функции, соответствующее приращению аргумента ). Неубывающая последовательность – последовательность , если , т. е. Нечетная функция – если выполняются два условия: 1) множество симметрично относительно нуля; 2) для любого справедливо равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Область значений функции – множество значений функции (множество всех элементов, которые функцией поставлены в соответствие элементам из её области определения). Область определения функции – множество значений, принимаемых независимой переменной (аргументом). Обратная функция – если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Ограниченная на множестве функция – если существует такое число , что для всех . Ограниченная последовательность – последовательность ограниченная и сверху и снизу одновременно, т. е. последовательность ограничена, если существует такое число , что для всех п справедливо неравенство . Ограниченная сверху последовательность – последовательность , если существует такое число М, что все члены последовательности меньше, чем М. Ограниченная снизу последовательность – последовательность , если существует такое число М, что все члены последовательности больше, чем М. Односторонний предел – предел функции в некоторой точке справа или слева от неё. Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке . Периодическая функция – если существует такое число , что для любого справедливы условия: 1) , ; 2) . Число – период функции . Последовательность – функция, определённая на множестве натуральных чисел N. Множество значений функции может состоять из элементов любой природы (числа, функции, векторы и т. д.), занумерованных натуральными числами 1, 2, 3, ..., n, .... Последовательность записывается в виде или , элементы называют членами последовательности. Последовательность расходится, если она не имеет предела. Последовательность сходится (или стремится) к числу , если последовательность имеет своим пределом число . Обозначается: или (при ). Постоянная последовательность – последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу . Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через предел определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Предел последовательности. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой. Т. е. число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство . Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( ), последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: или (при ). Предел функции (по Коши – «на языке » (эпсилон-дельта)). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство . Предел функции на бесконечности. Пусть функция определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т. е. , ) последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: . На языке : Число А называется пределом функции при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство . Аналогично определяется предел функции при . Обозначается: . Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т. д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции. Рекуррентная формула – формула, позволяющая выразить п-ный член последовательности через предыдущие члены. Сложная функция или композиция функций и – функция , , причем область значений функции содержится в области определения функции . Строго монотонная последовательность – убывающая или возрастающая последовательность. Точки разрыва второго рода. Если в точке не существует хотя бы один из односторонних пределов или , то называется точкой разрыва второго рода. Точки разрыва первого рода. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и , но они не равны между собой, или же односторонние пределы равны между собой, а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то называется точкой разрыва первого рода. Если в точке существует конечный предел , а не определено или если в точке существуют конечные односторонние пределы , то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва первого рода функции , не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции. Если – точка скачка функции , то разность не равна нулю и называется скачком функции в точке . Точки разрыва функции. Функцию , определённую в некоторой окрестности точки , называют разрывной в этой точке, если она не является непрерывной в этой точке. Различают точки разрыва первого рода. Убывающая последовательность – последовательность , если , т. е. . Убывающая функция на множестве – если для любых значений таких, что , справедливо неравенство . Функция – соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , где и – непустые множества. , или . Функция отображает множество на множество . Функция общего вида – функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной. Четная функция – если выполняются два условия: 1) множество симметрично относительно нуля; 2) для любого справедливо равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Числовая последовательность – последовательность, членами которой являются числа. Элементарные функции – класс функций, состоящий из основных элементарных функций (многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические), гиперболических, обратных гиперболических функций, а также функций, получающихся из перечисленных с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, применяемых конечное число раз. Данные функции непрерывны всюду, где определены.

Интегральное исчисление.

Интегральная сумма. Пусть функция определена на отрезке и на этом отрезке произвольно выбраны точки , так что – выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале произвольным образом выбрана точка , . Сумма вида , где , называется интегральной суммой функции на отрезке . Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании связи между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности. Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов интегралов – кратных, криволинейных и т. п. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл. Интегрируемая функция. Если функция непрерывна на отрезке , то предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек (теорема существования определенного интеграла). Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . Если функция ограничена на отрезке и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции , неотрицательной и непрерывной на отрезке , отрезком оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси Ox в точках a и b, т. е. прямыми и . Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство . Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод ин­тегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным ин­тегрированием. Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство . Неопре­деленный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции . Обозначается: . Если – какая-нибудь первообразная для функции , то . Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением. Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю: . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок – областью (отрезком) интегрирования. Первообразная. Пусть функция определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале . Тогда функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех . Если – первообразная для функции , то функция , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции . Если и – две первообразные для функции , то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число , что . Если функция непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале. Формула Ньютона-Лейбница. .

Дифференциальные уравнения.