, где 
и 
– заданные функции, в частности – постоянные. Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые на решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при 
функция 
должна быть равна заданному числу 
, т. е. 
называется начальным условием. 
или 
. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные). Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция 
, содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция 
является решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной 
, что функция удовлетворяет данному начальному условию. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных. Однородная функция п-го порядка. Функция 
называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель 
вся функция умножится на 
, т. е. 
. Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение 
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка. Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Уравнение Бернулли. Уравнение вида 
, где 
называется уравнением Бернулли. Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента. Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант. Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно определяются начальными условиями). Ряды.
, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов. Знакочередующийся ряд – ряд вида 
, где 
для всех 
, т. е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны. Интервал сходимости степенного ряда – интервал 
, во всех внутренних точках которого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если 
, то интервал сходимости 
. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. 
– это такое число, что при всех х, для которых 
, ряд абсолютно сходится, а при 
ряд расходится.. Расходящиеся ряды. Если 
не существует или 
, ряд 
называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Ряд Маклорена: 
– разложение функции 
по степеням х. Ряд Тейлора: 
– разложение функции по степеням 
. Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. ряд 
. Числа 
называют коэффициентами ряда, 
– действительная переменная. Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел 
последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. записывают: 
. Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т. е. ряд вида 
. Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда ,обозначается 
, т. е. 
. 
Числовой ряд – выражение вида , где 
– действительные числа, называемые членами ряда, 
– общим членом ряда. Элементы теории вероятностей и статистики.
Вариационный ряд – расположенная в порядке неубывания последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Вероятность – количественная характеристика степени объективной возможности появления некоторого (случайного) события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях. Для некоторого события А вероятность его лежит в пределах: 0 ≤ P(A) ≤1. Если P(A) = 0 , то это значит, что событие А не наступит ни при каких условиях, т. е. оно является невозможным. Вероятность достоверного события, т. е. которое наступит обязательно, равна 1. Выборка (выборочная совокупность) – понятие математической статистики, объединяющее результаты каких-либо однородных наблюдений; в широком смысле это конечная совокупность результатов наблюдений, представляющих собой независимые одинаково распределённые случайные величины. Гаусса распределение – нормальное распределение случайной величины. Генеральная совокупность – множество всех статистических единиц, из которого производится отбор некоторой его части – выборки. Объём генеральной совокупности – число её элементов, предполагается большим или даже бесконечным. Гистограмма – графическое представление эмпирического распределения в виде столбчатой диаграммы, основанное на геометрическом изображении количества измерений (наблюдений) исследуемой величины в границах отрезков одинаковой или различной протяженности. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
. Достоверное событие – событие, которое в результате опыта (наблюдения) непременно должно произойти; вероятность достоверного события равна единице. Испытание – термин классической теории вероятностей, при аксиоматическом подходе определяемый как любое разбиение пространства элементарных событий на попарно несовместимые случайные события, которые называются исходами испытания. Термин часто употребляется в сочетаниях "независимые испытания", "повторные испытания", "схема испытаний" и т. п. Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами (условиями). Каждое такое правило определяет комбинаторную конфигурацию или конструкцию из элементов исходного множества. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания. Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы систематизации и использования статистических данных; во многом опирается на теорию вероятностей. Математическим ожиданием дискретной случайной величины 
называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. 
. Медиана – одна из числовых характеристик распределения вероятностей непрерывной случайной величины X, численно равная тому значению случайной величины 
, что вероятности принять значение меньше m и больше m совпадают. Мода – одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины (как правило, равна наиболее вероятному значению случайной величины). При симметричном одномодальном распределении случайной величины мода совпадает с медианой и математическим ожиданием. Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не произойдет (вероятность его равна нулю). Независимым от события А называют событие В, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: 
. Непрерывная случайная величина – случайная величина X, (интегральная) функция распределения F(x) которой непрерывна. Несмещённая оценка – статистическая оценка параметра распределения вероятностей по результатам наблюдений, лишенная систематической ошибки. Несовместные события – события A и B, которые не могут произойти одновременно (их произведение AB=∅). Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: 
. Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов обозначают символом 
. Число всех возможных перестановок 
, где 
. Произведением двух событий А и В называют событие 
, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Пространство элементарных событий – множество всех взаимно исключающих исходов случайного эксперимента. Элементы этого множества называют элементарными событиями. Пространство называют дискретным, если число его элементов (элементарных событий) конечно или счётно. Противоположные события – события A и 
называются противоположными, если они образуют полную группу событий и в единичном опыте появление одного из них исключает появление другого. Размах выборки – разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по 
элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из n элементов по обозначают 
. Число всех возможных размещений
. Распределение – одно из основных понятий теории вероятностей. Распределение вероятностей случайной величины X , возможные значения 
которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием совокупности этих значений и соответствующих им вероятностей 
. Распределение Пуассона является предельным для биномиального. Случайная величина X имеет пуассоновское распределение, если она принимает только целые неотрицательные значения. Случайная величина – некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая (в разных независимых опытах) те или иные значения с определёнными вероятностями. Случайное событие – событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. случайные события. Случайный процесс – временной процесс изменения состояния какой-либо системы, происходящий в соответствии с вероятностными закономерностями. Характеристики процесса в любой момент времени Случайный эксперимент – наблюдение или опыт, исход которого не вполне однозначно определяется его условиями. Случайный элемент – обобщение понятия случайной величины, когда исходы опыта могут быть описаны не только числом или совокупностью чисел, но и представляют собой кривые, ряды, функции и т. п. Событие – любой факт, регистрируемый в результате случайного эксперимента. Событием называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло оно или не произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Совместными называются два события, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по обозначают 
. Число сочетаний 
. Суммой 
двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений (случайных событий, случайных величин и т. д.). Характеристика в теории вероятностей – числовой параметр, характеризующий существенные черты распределения случайной величины (математическое ожидание, асимметрия распределения и т. д.) Частота случайного события – отношение числа появления события в опытах к общему числу проведённых опытов. Элементарные события – совокупность взаимно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента. РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации).
Линейная алгебра.
Решить систему линейных уравнений тремя способами (методом Крамера, методом Гаусса, методом обратной матрицы):
1 способ. Формулы Крамера. Находим определить матрицы системы:
Так как 
, то решение системы существует и единственно. Находим дополнительные определители:
Решение системы уравнений: 
, 
, 
.
Ответ: 
.
2 способ. С помощью обратной матрицы. 
. Находим матрицу 
, обратную к матрице системы
. Для этого найдем 
и алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы 
:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
. Запишем матрицу 
.
Найдем матрицу : 
.
Найдем решение системы уравнений:
Ответ: .
3 способ. Метод Гаусса. 
. 
Ответ: .
2. Вычислить определитель: 
3. Определите значение 
, при котором система 
имеет единственное решение.
4. Решить уравнение:
Аналитическая геометрия.
Найти расстояние между точками
и 
. Найти радиус окружности, заданной уравнением 
. Найти центр сферы, заданной уравнением 
. Найти угловой коэффициент прямой 
. Задачи для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации
1. 
2. Даны матрицы 
и 
. Найти.
Дифференциальное исчисление.
1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
4. Вычислить пределы функций.
5 . Вычислить пределы функций.
Задачи для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации
Дана функция
. Найти ее область определения. Вычислить значение предела 
. Вычислить производную функции 
. Интегральное исчисление.
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
, осью абсцисс и прямыми 
и 
.
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
.
3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и 
.
4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) графиками функций и 
, прямой 
, б) графиками функций и , прямой 
.
Вторая задача интересна расположением графиков функций (график функции расположен ниже графика функции ) и способом определения пределов интегрирования (их можно либо вычислить аналитически, либо «снять» с графика, сделав затем проверку подстановкой). В третьей задаче пределы интегрирования можно определить лишь из уравнения 
, и в ней получается симметричная относительно оси ординат фигура, поэтому 
.
В четвертой задаче получаются две различные фигуры. Для вычисления площади второй фигуры ее следует разбить на две фигуры, площадь получившегося треугольника можно вычислить как по формуле, так и с помощью интеграла.
Дифференциальные уравнения.
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде 
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Введем замену 
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 
Пусть 
Введем замену 
4. Найти решение задачи Коши.
, Пусть 
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции 
, находим
5. Решить задачу Коши 
Пусть 
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции , находим
1) 
2) 
- общее решение ДУ.
- частное решение ДУ.
Задача 6. Найти решение задачи Коши 
1) Пусть 
2) 
7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Элементы теории вероятностей и статистики.
1. В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События – машина работает и машина не работает (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
.
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна 
.
Искомая вероятность 
.
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий можно заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: 
; 
; 
. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события 
(попадание первого орудия), 
(попадание второго орудия), 
(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям 
и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны: 
; 
; 
.
Искомая вероятность 
.
3. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: 
; 
. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из другого орудия, поэтому события (попадание первого орудия), 
(попадание второго орудия), независимы. Вероятность события 
(оба орудия дали попадание) 
.
Искомая вероятность 
.
Так как в этом примере события А и В независимые, то можно воспользоваться формулой 
. В этом случае вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы: 
; 
.
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна 
. Получим тот же результат.
4. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность 
. Этот же результат можно получить по формуле 
=
, где 
. Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании 
.
Найдем вероятность
того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений 
. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 
исходов. Следовательно, 
. Искомая условная вероятность 
.
5. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Событие А – из первой коробки извлечена стандартная лампа. Из второй коробки могла быть извлечена либор стандартная лампа (событие 
), либо нестандартная (событие 
).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, 
.
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, 
.
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна 
.
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна 
.
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
.
6. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй – через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 
. Математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости: 
. 
.
.
7. Найти математическое ожидание д. с.в., зная закон ее распределения:
X | 6 | 3 | 1 |
p | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Решение. 
.
8. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель 
, 
, 
и 
. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение. 
попадания.
9. Вероятность отказа детали во время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.
Решение. 
детали.
10. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
Решение. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем вероятность каждого из этих значений равна . Математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости: . .
очка.
11. Найти математическое ожидание произведения числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
билетов.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений в программе | Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором было принято данное решение | Подпись заведующего кафедрой, утверждающего внесенное изменение | Подпись декана факультета (проректора по учебной работе), утверждающего данное изменение |
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф. И.О., ученое звание и степень преподавателя | Учебный год | Факультет | Специальность |
, к. п.н. | ЕЭФ | 020801 – Экология 012500 – География 050102 – Биология |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
