Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 4 )

Уравнения прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где – угловой коэффициент прямой.

Общее уравнение прямой: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: , где ( – угол, образуемый прямой с осью Ох).

Уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Уравнение прямой в отрезках: , числа и указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Полярное уравнение прямой: , где – расстояние от полюса О до данной прямой, – угол между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.

Нормальное уравнение прямой: , где – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Угол между прямыми в плоскости.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  Привалов геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].

3.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 5. Кривые второго порядка.

План.

Линии (кривые) второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение окружности. (ПК, проектор, презентация). Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. (ПК, проектор, презентация). Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. (ПК, проектор, презентация). Парабола. Каноническое уравнение параболы. (ПК, проектор, презентация).

Основные понятия:

Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Центр, вершины, оси и полуоси эллипса. Гипербола. Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы. Равносторонняя гипербола. Парабола. Вершина параболы. Ось симметрии параболы.

Кривые второго порядка.

Уравнение окружности: , где – радиус окружности, – координаты центра окружности.

Уравнение эллипса: , где – большая полуось, – малая полуось эллипса.

Уравнение гиперболы: , где – действительная полуось, – мнимая полуось гиперболы.

Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Уравнение сферы: , где – радиус сферы, – координаты центра сферы.

Общее уравнение линий второго порядка всегда определяет: либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу. При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых

.

Общее уравнение плоскости в пространстве: .

Общее уравнение прямой в пространстве: .

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  Привалов геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].

3.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Дифференциальное исчисление.

Лекция 6. Элементарные функции. Элементы теории пределов.

План.

Функция. Способы задания функций. Основные характеристики функции. Элементарные функции и их графики. Исследование функций и построение графиков. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций. (ПК, проектор). Последовательности. Предел последовательности. Предел и непрерывность функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Основные понятия:

Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. Элементарные функции. Четная и нечетная функции. Возрастающая и убывающая функции. Ограниченная функция. Периодическая функция. Обратная функция. Сложная функция. Сдвиги графиков вдоль осей координат. Растяжение и сжатие графиков.

Числовая последовательность. Рекуррентная формула. Монотонная последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малая последовательность. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность.

Предел функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывная на промежутке функция. Точки разрыва первого и второго рода. Первый и второй замечательные пределы.

Функция – соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , где и – непустые множества. , или . Функция отображает множество на множество .

График функции и – множество всех точек плоскости с координатами , где .

Преобразования графиков функций.

1. График функции можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

1) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вверх, если , и вниз, если ).

2) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вправо, если , и влево, если ).

3) График функции получается из графика функции растяжением вдоль оси в раз.

4) График функции получается из графика функции сжатием по оси в раз.

5) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

6) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

Пределы.

Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через предел определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная, интеграл.

Предел последовательности. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой. Т. е. число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство .

Окрестностью точки а называется любой интервал с центром в точке а.

Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( ), последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: или (при ).

Предел функции (по Коши – «на языке » (эпсилон-дельта)). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство .

Предел функции на бесконечности. Пусть функция определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т. е. , ) последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: . На языке : Число А называется пределом функции при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство . Аналогично определяется предел функции при . Обозначается: .

Запись предела функции в точке: .

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А > 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.

Лекция 7. Элементы теории дифференцирования.

План.

Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной. (ПК, проектор, слайд фильмы). Теоремы о производ­ных. Производная сложной и обратной функций. Формулы дифференцирования. Дифференцирование ос­новных элементарных функ­ций. Произ­водные второго порядка. (ПК, проектор, слайд фильмы). Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика. (ПК, проектор).

Основные понятия:

Дифференциальное исчисление. Дифференцирование. Дифференцируемая функция. Производная.

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум).

Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов.

Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных.

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т. д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.

Интегральное исчисление.

Лекция 8. Неопределенный интеграл.

План.

Первообразная и неопре­деленный интеграл. Свойства неопре­деленного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы ин­тегрирования.

Основные понятия:

Первообразная и неопре­деленный интеграл. Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод подстановки (замена переменной). Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок).

Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании связи между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности.

Первообразная. Пусть функция определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале . Тогда функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех . Если – первообразная для функции , то функция , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции . Если и – две первообразные для функции , то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число , что . Если функция непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.

Неопре­деленный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции . Обозначается: . Если – какая-нибудь первообразная для функции , то . Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением.

Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов интегралов – кратных, криволинейных и т. п. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод ин­тегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным ин­тегрированием.

Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство .