Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика" (стр. 7 )

Подставив эти равенства в равенство , получим

.

При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий ,

для зависимых событий .

Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и .

Выведенная формула для несовместных событий принимает вид .

Получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

. Формула полной вероятности.

Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий: . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим .

Вычисляем каждое из слагаемых по теореме умножения вероятностей зависимых событий

, , …, .

Подставим правые части этих равенств в первое соотношение, получим формулу полной вероятности .

Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Событие А – извлеченная деталь стандартна. Деталь может быть извлечена из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь извлечена из первого набора .

Вероятность того, что деталь извлечена из второго набора .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, . Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна .

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: .

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, надо найти условные вероятности .

Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем . Отсюда . Заменив по формуле полной вероятности, получим . Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

. Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел, опубликованы в 1794 г.) Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона

На практике часто встречаются ситуации, в которых многократно повторяются испытания, связанные с появлением интересующего нас случайного события. Например, многократное подбрасывание монеты или игральной кости, физические измерения и т. д.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Какова вероятность того, что при п независимых испытаниях интересующее нас событие А произойдет ровно k раз и, следовательно, не произойдет п - k раз.

Пусть , , искомая вероятность (символ означает вероятность того, что в п испытаниях событие появится ровно k раз и не наступит п – k раз).

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А одинакова и равна р, событие А наступит k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

или .

Пример. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика, если вероятности рождения мальчиков и девочек считать одинаковыми.

По условию вероятность рождения мальчика , тогда . По формуле Бернулли найдем искомую вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна . Искомая вероятность по формуле Бернулли равна .

Если число испытаний п велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала , то пользуются приближенной формулой Пуассона (формула редких событий):

, где , , .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна . Найти вероятность того, что на базу прибудет три негодных изделия.

По условию , , . Найдем . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона .

Пример. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна . Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

Найдем . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона .

.

Литература:

1.  Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.

2.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М. Высшая школа

3.  Локоть для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.

4.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

5.  Турецкий и информатика. Екатеринбург, 1999.

Лекция 15. Случайные величины.

План.

Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности. Статистические оценки параметров распределения.

Основные понятия:

Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.

Случайные величины. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примеры. Поступление звонков на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательности отказов элементов и т. д.

Свойства потоков:

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Пример. Вероятности появления k событий на промежутках времени , , одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.

Если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t .

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Т. е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, ее можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова, б) менее двух вызовов, в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

По условию , , . Воспользуемся формулой Пуассона .

а) Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова

. Это событие практически невозможно.

б) События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна . Это событие практически невозможно.

б) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов, равна . Это событие практически достоверно.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовыми характеристиками дискретных случайных величин являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

.

Если д. с.в. Х принимает счетное множество возможных значений, то , причем математическое ожидание существует только в случае абсолютной сходимости ряда.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
p	0,1	0,6	0,3

Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появления события А в одном испытании, если вероятность события А равна .

Случайная величина Х – число появления события А в одном испытании – может принимать только два значения: (событие А наступило) с вероятностью и (событие А не наступило) с вероятностью . Искомое математическое ожидание .

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

3.  Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

4.  Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Пример 3. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

	X	5	2	4
	p	0,6	0,1	0,3

Найти математическое ожидание случайной величины Х Y.

Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины Х и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

.

Пример 4. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными , и . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью и 0 (промах) с вероятностью . Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (пример 2) . При втором и третьем выстрелах: , . Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: . Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

(попаданий).

Математическое ожидание числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: . Др. словами, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и равно произведению .

Пример 5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия . Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и искомое математическое ожидание (попаданий).

Литература:

6.  Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.

7.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М. Высшая школа

8.  Локоть для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.

9.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

10.  Турецкий и информатика. Екатеринбург, 1999.

РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).

Линейная алгебра.

Алгебраическое дополнение элемента – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку. Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера . Коэффициенты системы – числа , , . Матрица. Матрицей А размера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений (называемых элементами матрицы), где , . Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению, составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; – матрица, обратная A. Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных уравнений). Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении которых стоит данный элемент). Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю. Обратная матрица – матрица, такая что , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Однородная система – система, в которой . Определенная система – система, имеющая только одно решение. Определитель второго порядка задается равенством . Определитель третьего порядка задается равенством . Основная матрица системы – . Ранг матрицы – наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Расширенная матрицы системы – матрица системы , дополненная столбцом свободных членов. Свободные члены системы – числа . Система линейных алгебраических уравнений – система вида . Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.

Векторная алгебра.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Векторное произведение неколлинеарных векторов и – вектор , такой что 1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. , ; 2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. ; 3) векторы , и образуют правую тройку. Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов, и – число, равное скалярному произведению вектора на вектор на вектор . Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Длина (модуль) вектора – длина отрезка АВ. Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Координаты вектора – числа , проекции вектора на соответствующие координатные оси. Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Проекция вектора на ось l – положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены. Проекция точки М на ось l – основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось. Произведение вектора на число – вектор, который имеет длину , его направление совпадает с направлением вектора , если и имеет противоположное направление, если . Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства. Разность векторов и – вектор , такой что . Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением. Сумма двух векторов и – вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора . Формула разложения вектора по ортам координатных осей – .

Аналитическая геометрия.