Численные методы (стр. 15 )

Решив любым методом (например, методом последовательного исключения неизвестных, или по формулам Крамера[31]) систему, получим и . Следовательно, линейная эмпирическая зависимость имеет вид: .

Поступая аналогичным образом, запишем систему нормальных уравнений для определения коэффициентов ,, квадратичной эмпирической зависимости :

Решив эту систему, получим: , , . Следовательно, квадратичная эмпирическая зависимость имеет вид: .

Далее запишем систему нормальных уравнений для определения параметров и гиперболической зависимости :

Решив эту систему, получим: ,,. Следовательно, гиперболическая эмпирическая зависимость имеет вид: .

Для того, чтобы определить, какая из трех эмпирических зависимостей (линейная, квадратичная или гиперболическая) лучше описывает табличные данные, вычислим суммы квадратов отклонений значений каждой из указанных эмпирических зависимостей от табличных. Для линейной и квадратичной зависимостей получим:

Таблица 3

1	1.10	0.30	0.0650	0.0036
2	1.70	0.60	0.0000	0.0007
3	2.40	1.10	0.0203	0.0019
4	3.00	1.70	0.0090	0.0036
5	3.70	2.30	0.0195	0.0003
6	4.50	3.00	0.0311	0.0105
7	5.10	3.80	0.0050	0.0006
8	5.80	4.60	0.0512	0.0006
			= 0.2071	= 0.0218

Соответственно для гиперболической зависимости имеем:

Таблица 4

1	1.10	0.30	– 0.826473	0.683057
2	1.70	0.60	0.538875	0.290386
3	2.40	1.10	0.929058	0.863148
4	3.00	1.70	0.761318	0.579605
5	3.70	2.30	0.488637	0.238766
6	4.50	3.00	0.037934	0.001439
7	5.10	3.80	– 0.626419	0.392401
8	5.80	4.60	– 1.303635	1.699464
				=4.748266

Сравнивая (находя min {0.2071, 0.0218, 4.748266} = 0.0218) полученные суммы квадратов отклонений, делаем вывод, что лучшей в смысле метода наименьших квадратов является квадратичная зависимость.

Пример выполнения задания 3.

Тема «Итерационные методы решения систем линейных уравнений»

Методом Гаусса–Зейделя решить с точностью e= 0.001 систему линейных уравнений:

1.Приведем систему к виду с диагональным преобладанием. Прибавив к первому уравнению данной системы удвоенное третье уравнение и поменяв местами второе и третье уравнение, получим систему, эквивалентную исходной:

и

Проверим достаточное условие сходимости (диагональное преобладание). Это условие означает, что в каждом уравнении модуль диагонального элемента должен быть больше суммы модулей остальных коэффициентов этого уравнения:

2. Вывод итерационных формул. Если система приведена к виду с диагональным преобладанием, то для получения итерационных формул надо каждое уравнение системы разрешить относительно диагонального неизвестного, т. е. разрешить первое уравнение относительно, второе – относительно и третье – относительно , получим эквивалентную систему:

Следовательно, система рекуррентных соотношений для решения методом Гаусса–Зейделя рассматриваемой системы имеет вид:

где индекс сверху в круглых скобках обозначает номер итерации.

3. Нахождение приближенного решения. За начальное (нулевое) приближение можно взять любой набор чисел, и, несмотря на это, диагональное преобладание обеспечит сходимость к точному решению. Положим , , .

Вычислим:

Проверяем условие окончания вычислений:

Имеем:

.

Следовательно, продолжаем вычисления:

4. Проверяем условие окончания вычислений:

.

Проведя аналогичным образом ещё четыре итерации, получим:

Очевидно, что

Следовательно, вычисления прекращаем.

5. Проверка. Подставим найденные на шестой итерации значения в исходную систему уравнений, получим:

6. Ответ: приближенным решением системы является вектор .

Пример выполнения задания 4.

Тема «Численные методы решения нелинейных алгебраических

уравнений с одной переменной»

Уравнение имеет вид .

Исследовать интервалы изоляции корней данного уравнения, найти тремя методами (метод деления отрезка пополам, метод простой итерации, метод Ньютона) приближенное значение корня в интервале и сравнить полученные результаты.

Решение:

1. Исследование интервалов изоляции корней данного уравнения было проведено ранее (пункт 3.1.3).

4.  Вычисления, реализующие метод деления отрезка пополам, сведем в табл. 1.

Таблица 1

0	0	1	0.5	1	-1.375	1
1	0	0.5	0.25	1	-0.234375	0.5
2	0	0.25	0.125	1	0.376953	0.25
3	0.125	0.25	0.125	1	0.069092	0.125
4	0.1875	0.25	0.21875	0.069092	-0.083282	0.0625
5	0.1875	0.21875	0.203125	0.069092	-0.007244	0.03125
6	0.1875	0.203125	0.195313	0.069092	0.030886	0.015625
7	0.195313	0.203125	0.199219	0.030886	0.011812	0.0078125
8	0.199219	0.203125	0.201172	0.011812	0.002281	0.
9	0.201172	0.203125	0.202149	0.002281	-0.002484	0.
10	0.201172	0.202149	0.201661	0.002281	-0.000104	0.
11	0.201172	0.201661	0.201417	0.002281	0.001086	0.
12	0.201417	0.201661	0.201539	0.001086	0.000466	0.
13	0.201539	0.201661	0.201600	0.000466	0.0001935	0.
14	0.201600	0.201661	0.2016305	0.0001935	0.0000448	0.
15	0.2016305	0.201661	0.2016458	0.0000448	-0.000067	0.
16	0.2016305	0.2016458	0.2016381	0.0000448	0.0000077	0.

Проверка: