Численные методы (стр. 16 )

Ответ: искомое значение корня уравнения в интервале , полученного методом деления отрезка пополам, после выполнения шестнадцати итераций .

3. Для применения метода простой итерации (пункт 3.2.2) приведем уравнение к виду так, чтобы на всем отрезке выполнялось неравенство . Разрешим уравнение относительно следующим образом:, положим . Проверим условия сходимости:

, ,

так как и , то справедливость неравенств очевидна: .

За начальное приближение возьмем . Все остальные приближения будем определять из итерационной формулы .

Результаты вычислений оформим в виде табл. 2:

Таблица 2

0	0.25	0.015625	1.015625	0.203125
1	0.203125	0.	1.	0.201676	0.001449
2	0.201676	0.	1.	0.201641	0.000035
3	0.201641	0.	1.	0.2016397	0.0000013
4	0.2016397

Проверка: .

Ответ: искомое значение корня уравнения в интервале , полученного методом простой итерации, после выполнения четырех итераций – .

З а м е ч а н и е. При нахождении двух других корней уравнения , лежащих в интервалах и , при применении метода простой итерации нельзя пользоваться функцией , так как

,

.

Следовательно, условие сходимости не выполняется.

В этом случае можно, например, взять . Проверим условие сходимости:

,

.

Следовательно, при и имеем . Поэтому итерационная формула в этих случаях может иметь вид: .

4. Результаты нахождения корня уравнения на интервале методом Ньютона (пункт 3.2.3) сведем в табл. 3:

Таблица 3

1	0	1	– 5	0.2
2	0.2	0.008	– 4.88	0.	0.
3	0.	0.	– 4.8780247	0.	0.
4	0.	0.	– 4.8780243	0.	0.

Проверка:

Ответ: искомое значение корня уравнения в интервале , полученного методом Ньютона, после выполнения четырех итераций .

Пример выполнения задания 5.

Тема «Численные методы вычисления определенного интеграла»

Вычислить интеграл I = по формулам:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона.

Количество узловых точек n = 7. Оценить погрешность интеграла по формуле Симпсона.

Решение:

1. Определим шаг интегрирования:

2. Вычисленные значения подынтегральной функции в узлах , , запишем в табл. 1:

Таблица 1

0	0.4	0.	4	1.2	0.
1	0.6	0.	5	1.4	0.
2	0.8	0.	6	1.6	0.
3	1.0	0.

3. Вычислим интеграл I по формуле прямоугольников с левыми концами:

I

Вычислим интеграл I по формуле прямоугольников с правыми концами:

I

Вычислим интеграл I по формуле трапеций:

I

Вычислим интеграла I по формуле Симпсона с шагом :

I

Для оценки погрешности вычисления интеграла по формуле Симпсона вычислим интеграл I с шагом при этом число узловых точек n = 13. Запишем полученные результаты в табл. 2

Таблица 2

0	0.4	0.	7	1.1	0.
1	0.5	0.	8	1.2	0.
2	0.6	0.	9	1.3	0.
3	0.7	0.	10	1.4	0.
4	0.8	0.	11	1.5	0.
5	0.9	0.	12	1.6	0.
6	1.0	0.

Таким образом, соответственно имеем: