Численные методы (стр. 7 )

;

с шагом :

.

В полученных значениях и первые пять цифр совпадают. Их можно считать верными. Вычислим поправку: .

В результате можно принять, что

4.6. Общие формулы Ньютона–Котеса

Пусть требуется вычислить интеграл , если на отрезке функция задана таблицей с постоянным шагом :

				…
				…

Подынтегральную функцию заменим первым интерполяционным многочленом Ньютона и получим:

,

где — остаточный член интерполяции. Интегрируя это равенство, получим:

.

Отбрасывая второе слагаемое в правой части, получим приближенное равенство:

,

погрешность которого определяется формулой .

Равенство называют квадратурной формулой Ньютона–Котеса. Из нее при получается формула трапеций, а при – формула Симпсона. Заметим, что в практике вычислений редко берут значения .

Тема 5. Численные методы решения задачи Коши для

обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для нахождения числовых значений тех или иных величин. При этом всякий раз искались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, при изучении движения планеты или звезды необходимо определить зависимость их координат от времени.

Довольно часто можно построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций – такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть весьма разнообразной. В данном разделе будут рассмотрены наиболее важные из функциональных уравнений, служащих для разыскания функций – так называемые дифференциальные уравнения. Слово «дифференциальный» происходит от лат. differentia – разность (различный, неодинаковый при разных условиях). Под этим названием понимают уравнения, в которые входит не только сама неизвестная функция, но и ее производные некоторых порядков.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики, и особенно для ее приложений, объясняется главным образом тем, что к решению таких уравнений может быть приведено исследование многих физических, технических и экономических проблем.

Законы механики, открытые Ньютоном, позволяют движение всякой механической системы исследовать при помощи дифференциальных уравнений. Поясним это простым примером. Пусть рассматривается материальная частица массы m, движущаяся по оси OX. Координату ее в момент времени t обозначим x. При движении частицы ее координата x с течением времени будет изменяться, и знание всего движения частицы равносильно знанию функциональной зависимости x от времени t. Допустим, что движение происходит под действием силы F, величина которой зависит от положения частицы, определяемого координатой x, от скорости движения и от времени t, т. е. . Согласно законам механики, действие силы F на частицу должно вызывать такое ускорение движения , чтобы произведение его на массу m частицы было точно равно величине действующей силы, таким образом, в любой момент должно выполняться равенство:

.

Это и есть дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция , описывающая историю движения частицы. Оно является просто записью указанного выше закона механики. Значение же его состоит в том, что оно позволяет механическую задачу определения движения частицы свести к математической задаче решения дифференциального уравнения.
Теория дифференциальных уравнений начала развиваться в конце XVII в. почти одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время дифференциальные уравнения стали могучим орудием исследования явлений природы и общества. Так, например, Ньютон, исследуя дифференциальные уравнения движения небесных тел, получил законы движения планет, установленные Кеплером[24] эмпирически. Леверье[25] в 1846 г. предсказал существование планеты, названной Нептуном, и определил ее положение на небе на основе анализа тех же уравнений.

Отметим, что дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечно много решений – существует бесконечно много функций, ему удовлетворяющих. Так, например, указанное выше уравнение движения материальной частицы должно выполняться для всякого движения, происходящего под действием силы, характеризуемой функцией , независимо от того, с какого места оси оно началось и какова была начальная скорость. Каждому отдельному движению частицы будет соответствовать своя зависимость x от времени t. И, так как движений под воздействием силы F может быть бесконечно много, дифференциальное уравнение будет иметь бесконечное множество решений.

Каждое дифференциальное уравнение определяет, вообще говоря, целый класс функций, ему удовлетворяющих. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Теория должна дать возможность получить достаточно полное представление о свойствах всех функций, удовлетворяющих уравнению, что особенно важно в приложениях уравнений к естествознанию и экономике. Кроме того, она должна обеспечить средства для нахождения численных значений функций, если это потребуется для расчетов.

5.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение вида

между независимым переменным и значениями

, , , …, .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной от неизвестной функции, которая входит в дифференциальное уравнение.

Функция называется решением дифференциального уравнения, если после замены на , на , на , …, на оно обращается в тождество.

Часто вопросы практики приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входят несколько неизвестных функций, зависящих от одного и того же аргумента, и их производные по этому аргументу.

В том случае, когда неизвестная функция зависит от нескольких аргументов, и в уравнение входят производные от нее по нескольким аргументам, дифференциальное уравнение называют уравнением с частными производными.

Теория уравнений с частными производными обладает многими своеобразными чертами, существенно отличающими ее от теории обыкновенных уравнений. Здесь же будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

5.2. Существование и единственность решения дифференциального уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение любого произвольного порядка n имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений, и чтобы из всевозможных его решений выделить какое - либо одно определенное, необходимо к уравнению присоединить дополнительные условия, число которых должно быть равно порядку n уравнения. Такие условия могут иметь разнообразный характер, и вид их тесно связан с физическим, экономическим или иным значением задачи, которую привлекли к решению уравнения. Например, если нужно исследовать движение механической системы, начинающееся с определенного начального состояния, дополнительные условия будут относиться к определенному (начальному) значению независимой переменной и будут носить тогда название начальных условий задачи. Если же хотим определить линию провисания каната при конструировании подвесного моста или же найти прогиб балки, положенной на опоры и несущей какие-либо нагрузки, встретимся с дополнительными условиями, относящимися к различным значениям независимой переменной (к концам каната или точкам опоры балки).

Будем считать, что дополнительные условия поставлены и нужно найти решение обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющее таким условиям. Первый вопрос, который необходимо поставить, – это вопрос о существовании искомого решения. Нередко бывает, что заранее мы не можем быть уверены в его существовании. Пусть рассматриваемое уравнение является записью закона работы какого либо физического прибора, и пусть мы хотим определить, может ли в этом приборе осуществляться периодический процесс. Дополнительные условия тогда будут условиями периодической повторяемости начального состояния процесса в приборе, и нельзя утверждать наперед, будет или не будет существовать решение, им удовлетворяющее.

Исследование проблемы существования и единственности решения дает возможность выяснить, какие дополнительные условия могут быть выполнены для рассматриваемого уравнения и какие из них определяют решение единственным образом. Выявление таких условий и доказательство существования и единственности решения уравнения, описывающего некоторое экономическое явление, имеют большое значение и для самой экономической теории. Они показывают взаимную согласованность допущений, принятых в математическом описании явления, и известную полноту этого описания.

Методы исследования проблемы существования многообразны, но среди них особенно важную роль играют так называемые прямые методы. Существование нужного решения в них доказывается путем построения приближенных решений, сходящихся в пределе к точному решению задачи. Эти методы дают возможность не только установить существование точного решения, но дают также возможность, хотя бы принципиальную, сколь угодно точно к нему приблизиться.

5.3. Несколько общих замечаний о решении и составлении

дифференциальных уравнений

Дифференциальных уравнений, все решения которых явно выражаются через простейшие элементарные (или специальные) функции, немного. Так, еще в 1841 г. Лиувилль[26] показал, что решение уравнения Риккарти[27] вида (при ) не может быть выражено с помощью конечного числа интегралов от элементарных функций. Кроме того, если даже решение выражено через элементарные функции, то оно зачастую получается в виде столь сложного выражения, что вычислить по нему нужные величины гораздо труднее, чем интегрировать уравнение приближенно в численном виде. Поэтому большое значение имеют приемы приближенного решения дифференциальных уравнений, применимые к широким классам дифференциальных уравнений. То обстоятельство, что таким образом находятся не точные решения этих уравнений, а только приближенные, не должно беспокоить. Во-первых, эти приближенные решения, по крайней мере в принципе, могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Во-вторых, следует особо подчеркнуть, что в большинстве случаев сами дифференциальные уравнения, описывающие тот или другой физический или экономический процесс, не вполне точны.

Надо сказать, что в физических и экономических исследованиях неточно определяются не только сами дифференциальные уравнения, которые описывают законы изменения физических и экономических величин, определяющих течение изучаемого процесса или явления, но даже само число этих величин определяется приближенно. Строго говоря, нет, например, абсолютно твердых тел, любой физический объект имеет не нулевые размеры. Измерение подавляющего большинства экономических показателей носит стохастический характер, и, следовательно, по существу эти показатели известны лишь приближенно. Кроме того, если бы мы захотели учесть все факторы, влияющие на исследуемый объект, то задача настолько усложнилась бы, что мы не смогли бы ее решить с хорошим приближением. Известная идеализация задачи всегда неизбежна. При описании процесса нужно учесть основные черты процесса, а отнюдь не стремиться учесть все без исключения. Это не только сильно усложнило бы задачу, но в большинстве случаев сделало бы ее решение невозможным. Задача физики и экономики при изучении какого-нибудь процесса состоит в том, чтобы найти по возможности меньшее число величин, достаточно точно определяющих состояние изучаемого процесса в каждый момент; найти по возможности более простые дифференциальные уравнения, хорошо описывающие законы изменения этих величин. Задача эта часто бывает весьма нелегкой. Что же является существенным при рассмотрении некоторой физической или экономической задачи, чем нельзя и чем следует пренебречь – это в конечном счете решает длительный опыт. Только сопоставляя те ответы, которые дает нам идеализированное рассмотрение, с результатами опыта, мы можем судить, законна ли была идеализация.

Математически задача о том, можно ли уменьшить число определяющих величин, в одной из ее простейших и характерных постановок формулируется так. Допустим, что мы характеризуем сначала состояние рассматриваемой системы в момент двумя величинами и . Пусть дифференциальные уравнения, определяющие закон их изменения, имеют вид:

У второго уравнения коэффициентом при производной служит малый постоянный параметр . Если мы положим , второе уравнение перестанет быть дифференциальным уравнением. Оно примет тогда вид Определим отсюда как функцию от и и подставим эту функцию в первое из уравнений. Получим уже для одной только величины дифференциальное уравнение вида

Таким образом, число параметров, подлежащих изучению, уменьшилось до одного. Спрашивается, при каких условиях ошибка, происходящая от того, что мы положили , мала? Ведь может случиться, что при величина будет бесконечно возрастать и правая часть второго из рассматриваемых уравнений не будет стремиться к нулю при . На целый ряд вопросов, аналогичных только что поставленному, исчерпывающий ответ дает теория дифференциальных уравнений.

5.4. Задача Коши для обыкновенного дифференциального

уравнения первого порядка

Задача Коши – одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Она систематически изучалась Коши[28]. Для простоты будем рассматривать только дифференциальное уравнение первого порядка с одной неизвестной функцией.

Требуется найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

(5.1)

удовлетворяющее начальному условию (5.2)

где – заданная функция в некоторой области на плоскости ;

– заданные числа.

5.4.1. Геометрическая интерпретация задачи интегрирования дифференциальных

уравнений, обобщение задачи, метод ломаных линий Эйлера

Уравнение (5.1) задает в каждой точке области значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (5.1). Если в каждой точке области представить с помощью некоторого отрезка (оба направления по этому отрезку для нас равноправны) направление касательной, определяемое значением в этой точке, то получим поле направлений. Тогда задачу нахождения решения дифференциального уравнения (5.1) по начальному условию (5.2) можно сформулировать так: требуется найти в области кривую , проходящую через точку , которая в каждой своей точке имеет касательную с заданным в этой точке уравнением (5.1) угловым коэффициентом или, как говорят короче, которая имеет в каждой своей точке заданное направление.

С геометрической точки зрения в такой постановке задачи представляются неестественными следующие обстоятельства:

1. Требуя, чтобы угловой коэффициент заданного в любой точке области направления равнялся , мы тем самым исключаем направления, параллельные оси , так как мы рассматриваем только конечные величины; в частности, предполагается, что функция в правой части уравнения (5.1) принимает всюду только конечные значения.

2. Рассматривая только кривые, служащие графиками функций от , мы тем самым исключаем из рассмотрения те линии, которые с некоторыми перпендикулярами к оси пересекаются больше одного раза, так как всюду мы рассматриваем только однозначные функции; в частности, всякое решение дифференциального уравнения предполагается однозначной функцией .

Поэтому обобщим предыдущую постановку задачи нахождения решения дифференциального уравнения (5.1). А именно, будем допускать, что поле направлений в некоторых точках параллельно оси . Соответственно этому, наряду с дифференциальным уравнением (5.1), будем рассматривать уравнение

где, если , используя второе уравнение там, где первое не имеет смысла, а второе имеет смысл. Задачу же интегрирования дифференциальных уравнений (5.1) и поставим так: в области найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное этими уравнениями.

Эти линии будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (5.1) и или полями направлений, задаваемых этими уравнениями. Вместо множественного числа «уравнения (5.1) и » будем употреблять единственное число: «уравнение (5.1) и ». График всякого решения уравнения (5.1) будет интегральной кривой уравнения (5.1) и . Но не всякая интегральная кривая уравнения (5.1) и будет графиком решения уравнения (5.1) Это будет, например, если некоторый перпендикуляр к оси пересекает эту линию больше, чем в одной точке.

Метод ломаных линий Эйлера[29]. Итак, уравнение (5.1) определяет в области поле направлений. Возьмем какую-нибудь точку из области . Ей будет соответствовать проходящая через эту точку прямая с угловым коэффициентом , касательная к проходящей через эту точку интегральной линии. На прямой возьмем точку , достаточно близкую к . Через точку проведем прямую с угловым коэффициентом , на которой возьмем точку и т. д. Пусть при этом . Предполагается при этом, что точки , , принадлежат области . Ломаная линия, соединяющая эти точки, называется ломаной Эйлера. Можно было бы провести ломаную Эйлера и в сторону убывания .

Естественно ожидать, что каждая из проходящих через точку ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой , проходящей через точку , и что при уменьшении длин звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю, ломаные Эйлера будут приближаться к этой интегральной кривой.

При этом предполагается, что такая интегральная линия существует. Можно показать, что если в области функция непрерывна, то можно выбрать бесконечную последовательность ломаных Эйлера, у которых длина наибольшего звена стремится к нулю, причем эта последовательность стремится к некоторой интегральной кривой . Однако при этом, вообще говоря, может не оказаться единственности: могут существовать различные последовательности ломаных Эйлера, которые будут сходиться к различным интегральным кривым, проходящим через одну и ту же точку . Известный советский математик Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900–1980), инициатор создания Сибирского отделения Академии Наук СССР, построил пример такого дифференциального уравнения вида (5.1) с непрерывной функцией , у которой в любой окрестности любой точки области через точку проходит не одна, а по крайней мере две интегральные линии. Для того, чтобы через каждую точку области проходила только одна интегральная линия, необходимо предъявить к функции дополнительные требования сверх требования быть непрерывной.

На практике часто приближения для интегральных линий дифференциального уравнения (5.1) составляются не из отрезков прямых, касающихся интегральных линий, а из отрезков парабол, имеющих более высокий порядок касания с интегральными кривыми. Таким образом, удается получить приближенное решение с такой же точностью при меньшем числе шагов (меньшем числе звеньев, из которых составляется приближенная линия). Коэффициенты уравнения параболы

(5.3)
имеющей в точке касание -го порядка с проходящей через эту точку интегральной линией

уравнения (5.1), даются следующими формулами: ; ;

;

и т. д. Многочлен (5.3) нужен только для того, чтобы вычислить его значение при . Значения же самих коэффициентов , , , …, не нужны. Существует много способов вычисления значения многочлена при с коэффициентами, определяемыми по формулам (5.3), минующих вычисление самих коэффициентов , , , …, .