Численные методы (стр. 6 )

.

Обозначим , . Заменяя интеграл интегральной суммой, получим приближенное равенство:

,

называемое формулой прямоугольников (с левыми ординатами).

Если в качестве взять правые концы частичных отрезков : (), то получим приближенное равенство:

,

называемое формулой прямоугольников (с правыми ординатами).

Геометрический смысл формулы прямоугольников состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры.

Если функция возрастающая, то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с недостатком, а с правыми ординатами – с избытком; если убывающая, то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с избытком, а с правыми ординатами – с недостатком.

4.2. Формула трапеций

Интеграл на отрезке будем считать приближенно равным
, .

Представим интеграл как сумму интегралов :

Это и есть формула трапеций[22]. Название этой формулы происходит из геометрической интерпретации: если интеграл принимается приближенно равным площади трапеции, построенной на точках , то приближенное значение интеграла равно сумме площадей трапеций.

Формуле трапеций можно дать толкование, не зависящее от ее геометрического смысла. По сути дела мы перед интегрированием заменили подынтегральную функцию на каждом интервале на линейную, принимающую те же значения в концевых точках интервала , что и функция , т. е. произвели линейную интерполяцию. Очевидно, заменив функцию многочленом более высокой степени, мы вправе ожидать более точного результата.

4.3. Формула Симпсона

Если применить интерполяционный полином второй степени, то получится формула численного интегрирования, имеющая название формулы парабол или формулы Симпсона[23].

Предположим, что значения подынтегральной функции известны в трех точках ,

, ;

, , .

Через точки , , проведем параболу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, заменим площадью трапеции, ограниченной сверху параболой. Для вычисления интеграла от параболы рассмотрим интерполяционный полином Ньютона:

.

Так как , то .

Вычислим интеграл :

.

Подставим в полученное выражение и , после приведения подобных членов, получим: .

Если теперь область интегрирования разбита на частей с помощью точек деления

, где , то к каждой паре этих частей, содержащей три последовательные точки деления, можно применить полученную формулу:

. . .

,

.

Сложив эти формулы почленно, получим формулу Симпсона:

.

Вычисляя определенный интеграл по формулам прямоугольников, трапеций или по формуле Симпсона, мы совершали ошибку, в силу замены подынтегральной функции на более простую.

4.4. Оценка точности формул прямоугольников, трапеции и Симпсона

Разность между точным значением интеграла и приближенным значением называется остаточным членом. Обозначим остаточный член для формул прямоугольников (с левыми и правыми концами) через ,

для формулы трапеций – через ,

и для формулы Симпсона – через

.

Можно показать, что для остаточного члена в формуле прямоугольников имеет место оценка:

, где ;

для остаточного члена в формуле трапеций – оценка:

, где ;

а для остаточного члена в формуле Симпсона – оценка:

, где .

Сопоставление этих оценок позволяет сделать следующие выводы:

Из того, что производная порядка n + 1 от многочлена степени n равна нулю, получаем следующие утверждения:

Формула прямоугольников дает точное значение, если для всех . Это имеет место, когда является константой.

Формула трапеций дает точное значение, если для всех . Это имеет место, когда является линейной функцией.

Формула Симпсона дает точное значение, если для всех . Это имеет место для многочленов не выше 3-й степени.

Погрешность вычислений по формулам прямоугольников обратно пропорциональна числу ; при использовании формулы трапеций – числу ; при применении формулы Симпсона – числу , где – число частичных отрезков разбиения интервала интегрирования . Так, например, при увеличении числа частичных отрезков в два раза погрешность вычисления по формулам прямоугольников уменьшится примерно в 2 раза, по формуле трапеций — в 4 раза, по формуле Симпсона — в 16 раз. Таким образом, из рассмотренных квадратурных формул наибольшую точность дает формула Симпсона, наименьшую — формула прямоугольников. Объемы вычислений по формуле прямоугольников и формуле трапеций примерно одинаковы. Объем вычислений по формуле Симпсона несколько больше, но зато результат значительно точнее.

4.5. Практические приемы оценки погрешности вычислений

по квадратурным формулам

Практическое применение приведенных выше оценок погрешностей квадратурных формул связано с нахождением производных второго или даже четвертого порядка, что приводит к трудоемким вычислениям в тех случаях, когда подынтегральная функция задается сложным аналитическим выражением. Если же функция задана таблицей и ее аналитическое выражение неизвестно, то непосредственное использование этих оценок становится невозможным. С такими случаями обычно и приходится сталкиваться при решении практических вычислительных задач.

Если таблица, которой задается подынтегральная функция , содержит практически постоянные первые разности, т. е. ведет себя примерно как многочлен первой степени, то можно воспользоваться формулой трапеций. Если же таблица функции содержит практически постоянные вторые и третьи разности, т. е. если функция ведет себя примерно как многочлен второй или третьей степени, то целесообразно применить формулу Симпсона. Это, как уже отмечалось, связано с тем, что вычисление по формуле трапеций позволяет получить точное значение интеграла при условии линейности подынтегральной функции, а формула Симпсона – в том случае, если подынтегральная функция является многочленом не выше третьей степени. При табличном задании функции приближенное значение погрешности, получаемой при вычислении интеграла по той или иной квадратурной формуле, находится с помощью правила Рунге (двойной пересчет), которое состоит в следующем:

1. Вычисление интеграла выполняется два раза с шагами и . Полученные значения интеграла обозначаются соответственно и .

2. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке вторая производная меняется медленно, то при вычислении интеграла по формуле трапеций можно воспользоваться следующим приближенным выражением для погрешности: .

3.  В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла можно взять:

.

4. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке четвертая производная меняется медленно, то при вычислении интеграла по формуле Симпсона можно считать, что погрешность приближенно равна: .

В качестве приближенного значения интеграла в этом случае можно взять:
.

З а м е ч а н и е 4.1. В вычислительной практике часто пользуются также следующим правилом подсчета верных знаков в полученном результате: считают практически верными все совпадающие цифры у значений и .

Для иллюстрации сказанного выше вычислим интеграл , если функция задана табл. 4.1. Оценим погрешность полученного приближенного значения интеграла при помощи двойного пересчета с уменьшением шага в два раза.

Таблица 4.1

i	xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi	D4yi
0	0.0	1.0000	– 0.0050	– 0.0099	0.0000	+ 0.0005
1	0.1	0.9950	– 0.0149	– 0.0099	0.0005	– 0.0004
2	0.2	0.9801	– 0.0248	– 0.0094	0.0001	+ 0.0004
3	0.3	0.9553	– 0.0342	– 0.0093	0.0005	+ 0.0001
4	0.4	0.9211	– 0.0435	– 0.0088	0.0006	0.0000
5	0.5	0.8776	– 0.0523	– 0.0082	0.0006
6	0.6	0.8253	– 0.0605	– 0.0076
7	0.7	0.7648	– 0.0681
8	0.8	0.6967	– 0.0050

Сначала вычислим табличные разности и поместим их справа в этой же таблице. Заметим, что третьи разности практически постоянны. Значит, функция ведет себя примерно так же, как, многочлен третьей степени, и поэтому для вычисления интеграла целесообразно применить формулу Симпсона. Шаг табл. 4.1 ; . Для выполнения двойного пересчета составим еще одну таблицу (4.2) с шагом ; (на базе табл. 4.1).

Таблица 4.2

0	0.0	1.0000	– 0.0199	– 0.0391	0.0023	0.0017
1	0.2	0.9801	– 0.0590	– 0.0368	0.0040
2	0.4	0.9211	– 0.0958	– 0.0328
3	0.6	0.8253	– 0.1286
4	0.8	0.6967

Вычислим значение интеграла для разбиения с шагом :