Численные методы (стр. 17 )

Следовательно, погрешность вычисления интеграла по формуле Симпсона равна:

Проверка. Найдем первообразную подынтегральной функции и, применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим:

I =

Пример выполнения задания 6.

Тема «Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка»

Найти с шагом численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

двумя методами: методом Эйлера, методом Рунге–Кутта.

1. Нахождение численного решения методом Эйлера. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому можно найти его точное решение, удовлетворяющее условию : . Значения точного решения с точностью до девятого знака в соответствующих узлах приведены в пятом столбце табл. 1. В этой же таблице приведены результаты всех других вычислений.

Таблица 1

				Точное решение
0	0.0	1.0	0.0	1.0
1	0.1	1.0	0.2	1.
2	0.2	1.02	0.408	1.
3	0.3	1.0608	0.63648	1.
4	0.4	1.124448	0.8995584	1.
5	0.5	1.		1.

Заполняется табл. 1 следующим образом. В первой строке при записываются начальные данные , и по ним вычисляется .

Затем по формуле при получим .

Значения , записываем во второй строке (). Используя их, вычисляем .

Затем заполняется третья строка таблицы 1 ():

, ,

.

Затем заполняется четвертая строка таблицы 1 ():

, , .

Затем заполняется пятая строка таблицы 1 ():

, , .

Наконец, заполняется шестая строка таблицы 1 ():

, .

Из табл. 1 видно, что глобальная ошибка в определении составляет

,

а относительная .

1.  Нахождение численного решения методом Рунге–Кутта. Результаты вычислений запишем в табл. 2

Таблица 2

0	0.0	1.0	0.0	0.01	0.01005	0.020201
1	0.1	1.	0.	0.	0.	0.
2	0.2	1.	0.	0.	0.	0.
3	0.3	1.	0.	0.	0.	0.
4	0.4	1.	0.	0.	0.	1.
5	0.5	1.

Заполняется табл. 2 следующим образом. В первой строке при записываются начальные данные , и по ним вычисляется . Затем находим

, ,

.

Зная , вычислим , и

,

Далее находим , и

.

Затем найдем

И, следовательно, согласно расчетной схеме Рунге–Кутта, .

Значения и записываются во второй строке табл. 2 ().

Используя их, вычисляем

, ,

, ,

Далее , и

Затем найдем .

И, следовательно, согласно расчетной схеме Рунге–Кутта, .

Значения и записываются в третьей строке табл. 2  (). Используя их, вычисляем

, ,

, ,

Далее , и

Затем найдем .

И, следовательно, согласно расчетной схеме Рунге–Кутта, .

Значения и записываются в четвертой строке табл. 2 (). Используя их, вычисляем

, ,

, ,

Далее , и

Затем найдем

.

И, следовательно, согласно расчетной схеме Рунге–Кутта, .

Значения и записываются в пятой строке табл. 2 (). Используя их, вычисляем

, ,

, ,

Далее , и

Затем найдем

.

И, следовательно, согласно расчетной схеме Рунге–Кутта, .

Значения и записываются в шестой строке табл. 2 ()

Из табл. 2 видно, что глобальная ошибка в определении составляет

,

а относительная .

Вычислим ошибки, которые определяются разностью между вычисленным и точным значением функции и определяют на каждом шаге вычислений суммарную погрешность, накопившуюся с момента начала вычислений методом Эйлера – и методом Рунге–Кутта – . Для сравнения полученных результатов оформим их в виде табл. 3.

Таблица 3

		Точное решение	Решение, полученное методом Эйлера,	Решение, полученное методом Рунге–Кутта,	Глобальная ошибка на шаге	Глобальная ошибка на шаге
0	0.0	1.0	1.0	1.0	0.	0.
1	0.1	1.	1.0	1.	0.	0.
2	0.2	1.	1.02	1.	0.	0.
3	0.3	1.	1.0608	1.	0.	0.
4	0.4	1.	1.124448	1.	0.	0.
5	0.5	1.	1.	1.	0.	0.

Мы видим, что метод Рунге–Кутта дает результаты, практически совпадающие с точным решением.

Приложение 1

Типовая форма титульного листа

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный

университет экономики и управления – «НИНХ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Номер группы: _____________________________________________________

Наименование специальности: ________________________________________

Студент: ___________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Номер зачетной книжки (студенческого билета): ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­_________________________

Учебная дисциплина: ________________________________________________

Кафедра: ___________________________________________________________

Номер варианта контрольного задания: _________________________________

Дата регистрации институтом: «_____» _____________________ 200___ г.

Дата регистрации кафедрой: «_____» _____________________ 200___ г.

Проверил: _________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество преподавателя)

ОЦЕНОЧНОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ

	Зад. 1	Зад. 2	Зад. 3	Зад. 4	Зад. 5	Зад. 6	Итого	Заклю- чение	Подпись
Кол-во баллов

СОДЕРЖАНИЕ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.. 2

Раздел 1. Организационно-методический. 3

Раздел 2. Содержание дисциплины.. 4

Раздел 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины. 6

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Численные методы». 9

Предисловие. 9

Тема 1. Аппроксимация функций. 9

Тема 2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 19

Тема 3. Численные методы решения нелинейных уравнений с одной переменной 23

Тема 4. Численные методы вычисления определенного интеграла. 37

Тема 5. Численные методы решения задачи Коши для. 43

обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. 43

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ контрольных работ. 53

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.. 63

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебно-методический комплекс

Для студентов специальности 061700 «Статистика» и направления 522000 «Статистика»

[1] Интерполяция – от лат. interpolatio изменение, искажение, нахождение по ряду данных значений функции промежуточных ее значений (противоположное экстраполяция).

[2] Экстраполяция – от лат. extra сверх меры, чересчур + лат polire делать гладким, нахождение по ряду данных значений функции других ее значений, находящихся вне этого ряда (противоположное – интерполяция).

[3] Эмпирический – от лат. empeiria опыт, основанный на опыте.

[4] Аппроксимация – от лат. approximare приближаться, приближенное выражение каких-либо величин через другие, более простые величины.

[5] Полином – от греч. poly – много + nome доля часть, многочлен – алгебраическое выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных между собой знаками сложения или вычитания. (Сравни с моном – от лат. monos – один, единственный + nome – доля, одночлен; бином – от лат. bi – дву + греч. nome – доля, двучлен – алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух одночленов.)

[6] Исаак Ньютон (1643–1727), английский математик механик, астроном, физик. Разработал (независимо от Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисление. Открыл закон всемирного тяготения, дал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики.

[7] (1777–1855) – немецкий ученый, почетный член Петербургской Академии Наук.

[8] Камиль Жордан (1838–1922) – французский математик, член.-корр. Петербургской Академии Наук.

[9] Представьте себе три параллельные линии, проходящие через три вершины треугольника и перпендикулярные к его плоскости. Теперь проведите плоскость через каждую пару параллельных линий. Эти три плоскости не параллельны, но они нигде не пересекаются в одной точке. Если же одна из плоскостей слегка наклонена, то три плоскости пересекаются в одной точке, но система уравнений будет плохо обусловленной.

[10] Итерация – от лат. iteratio повторение, результат применения какой-либо математической операции, получа-ющейся в серии аналогичных операций.

[11] Назван в честь немецкого математика Карла Густава Якоби (), почетного члена Петербургской Академии Наук.

[12] Трансцендентный от лат. Transcendens – выходящий за пределы (алгебраических уравнений); трансцендентные числа – числа, не удовлетворяющие никакому алгебраическому уравнению с целыми коэф-фициентами, таковы, например

[13] Дихотомия – от греч. слов dicha – на две части + tome – сечение.

[14] Итерация – от лат. iteratio – повторение. Результат применения какой-либо математической операции, полу-чающейся в серии аналогичных операций.

[15] Доказательство теоремы 4 см., например, в книге: Численные методы – М., Наука, 1982 – с 177.

[16] Доказательство теоремы 5 см., например, в книге: , , П., Численные методы – М., Просвещение, 1990 – с 14.

[17] Напомним, что дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя и неправильной, если числитель больше знаменателя.

[18] Радикал – от лат. radicalis – коренной, математический знак действия извлечения корня.

[19] (1646–1716) – немецкий математик, физик, философ, языковед. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России.

[20] (1777–1855) – немецкий математик, физик, астроном, почетный член Петербургской Академии Наук.

[21] Квадратура – от лат. quadratura, quadrare – делать четырехугольным.

[22] Трапеция – от греч. trapezion – четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны.

[23] Названа в честь английского математика Томаса Симпсона (1710–1761), установившего ее.

[24] Иоганн Кеплер (1571–1630) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет, заложил основы теории затмений, изобрел телескоп.

[25] Леверье (1811–1877) – французский астроном, иностранный член-корр. Петербургской Академии Наук.

[26] Жозеф Лиувилль (1809–1882) – французский математик, иностранный член-корр. Петербургской Академии Наук.

[27] Якопо Франческо Риккарти (1676–1754) – итальянский математик.

[28] Огюстен Луи Коши () – французский математик, почетный член Петербургской Академии Наук.

[29] Леонард Эйлер (1707–1783) – математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Не найдя в Швейцарии условий для научной деятельности, переехал в 1727 г. в Россию, с 1766 г. академик Петербургской Академии Наук. Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности, автор более 800 работ, оказавших значительное влияние на развитие науки.

[30] Обоснование метода Рунге–Кутта можно найти, например, в книге: , , Монастырный методы. – Т.2.– М.: Наука, 1977. – 400 с.

31 Габриел Крамер (1704–1752) – швейцарский математик, получивший общие правила для решения алгебра-ических уравнений.