Численные методы (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра высшей математики

,

Численные методы

Учебно-методический комплекс

по специальности 061700 «Статистика»

направление 522200 «Статистика»

Новосибирск

2006

ББК 22.193

Г 25

Издается в соответствии с планом учебно-методической работы

Г 25 ,

Численные методы: Учебно-методический комплекс. – Новосибирск: НГУЭУ, 2006. – 76 с.

ББК 22.193

© , , 2006

© НГУЭУ, 2006

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебно-методический комплекс

По специальности 061700 «Статистика»

Направление 522200 Статистика»

Носырева

Подписано в печать 24.01.2006 г. Формат 6084/8 Тираж 100 экз.

Гарнитура Таймс. Усл. Печ. Л. 9,5

Новосибирский государственный университет экономики и управления

г.Новосибирск, ул. Каменская, 56

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Предисловие

Чтобы описать, какое место занимают численные методы в научных знаниях, необходимо сказать, что современная вычислительная математика содержит в себе три главнейших части: 1) численные методы; 2) приборы, позволяющие автоматизировать вычисления, осуществлять связь, хранить информацию и т. д. (среди них центральную роль играют вычислительные машины); 3) вспомогательные средства, облегчающие управление работой вычислительной машины; к ним относятся алгоритмические языки различных назначений, стандартные программы, пакеты прикладных программ, различные программные оболочки. В данном учебном пособии в краткой форме дано изложение основ численных методов.

Теория численных методов является очень разветвленной наукой и имеет приложение всюду, где приходится встречаться с числами или рассматривать явления и процессы, подчиненные количественным законам. Чтобы проиллюстрировать трудности, с которыми приходится сталкиваться при численном решении задач, рассмотрим простой иллюстративный пример.

Пусть требуется найти максимальный корень уравнения

.

Используя хорошо известную из формулу, проводя вычисления с восемью значащими цифрами, получим требуемый корень:

.

Эта формула обычно приводится в курсах алгебры без всяких оценок точности, однако ограничение точности вычислений четырьмя значащими цифрами, приводит к тому, что получим Этот результат имеет ошибку 25%.

Вычислительные машины всегда работают с конечным количеством значащих цифр. Заметим, что многие числа нельзя представить точно ограниченным числом значащих цифр. Например, если в вычислениях используется число , то оно может быть представлено в виде 3.14, или 3., в зависимости от того, какая точность требуется в данном вычислении. Даже обыкновенные дроби очень часто нельзя представить с помощью конечного числа десятичных знаков, так 1/3 можно представить только в виде периодической дроби. Одним из важнейших вопросов является вопрос о том, как ошибка, возникающая в определенном месте в ходе вычислений, распространяется дальше.

Тема 1. Аппроксимация функций

В практической деятельности постоянно приходится сталкиваться с необходимостью выявления форм связи в процессах и явлениях и необходимостью их математического описания.

Остановимся на таких формах связи, для которых некоторая величина , характеризующая процесс, зависит от совокупности несвязанных между собой величин таким образом, что каждому набору соответствует единственное значение . Такое соответствие и называется функциональной зависимостью и представляется соотношением .

Из курса математического анализа известны три способа задания функциональных зависимостей:

1) аналитический;

2) графический;

3) табличный.

Наиболее удобным способом задания функциональной зависимости является аналитический. Аналитический способ предполагает задание (определение) функциональной зависимости в виде одной или (на различных областях) нескольких формул. Аналитический способ прямо указывает действия и их последовательность выполнения над независимой переменной для получения соответствующего значения величины .

Так, например, можно привести аналитическую зависимость денежных кредитов в сельском хозяйстве от затрат на крупный рогатый скот:

,

где – кредиты под товарно-материальные ценности;

– затраты на крупный рогатый скот.

Положительным качеством аналитического способа задания является возможность получить значения для любого фиксированного аргумента с любой точностью.

К недостаткам этого способа следует отнести то, что приходится производить всю последовательность вычислений; кроме того, аналитический метод не обладает наглядностью.

Указанные недостатки аналитического способа устраняются в случае графического задания функции.

Графиком данной функции называется геометрическое место точек плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнению . Однако для определения этих координат зачастую приходится производить всю последовательность вычислений по данным формулам.

Табличный способ задания функций наиболее распространен в экономике, технике, естествознании (и чаще всего возникает в результате эксперимента).

Так, например, размеры прямого налогообложения частных компаний США представлены в табл. 1.1:

Таблица 1.1

Годы	1960	1962	1964	1966	1968	1970	1972
Размер налогообложения	23.0	24.2	27.6	30.0	28.7	37.0	35.6

Преимуществом табличного способа задания функции является то, что для каждого значения независимой переменной, помещенной в таблицу, можно сразу же, без всяких измерений и вычислений, найти соответствующее значение функции.

Недостаток табличного способа состоит в том, что нельзя задать всю функцию сплошь, т. е. всегда найдутся такие значения независимой переменной, которых нет в таблице. Например, по табл. 1.1 нельзя определить размер налогообложения в 1961, 1971 и 1974 годах. Подобные задачи практики формализуются как математические задачи интерполирования[1] и экстраполяции[2].

Анализ экономических, социальных и технических процессов приводит к необходимости выявления существенных факторов, влияющих на исследуемый процесс, а также к выбору формы связи между факторами и к оценке параметров полученных уравнений связи. Например, требуется подобрать вид аналитической зависимости размера налогообложения по годам. Подобные задачи практики формализуются как математические задачи нахождения эмпирической[3] зависимости.

Таким образом, при обработке данных возникает задача замены одной функции другой, в каком-то смысле более удобной, простой, чем исходная задача. Подобного рода задача формализуются как задача аппроксимации[4] функций.

Математически задачу аппроксимации функций можно сформулировать следующим образом: данную функцию требуется заменить функцией так, чтобы отклонение от было минимально, называют аппроксимируемой функцией, – аппроксимирующей.

Критерии близости к могут быть различны и в зависимости от этого могут быть различные методы аппроксимации. Рассмотрим два способа аппроксимации: интерполирование и выбор эмпирической зависимости.

1.1.  Интерполирование функций

Математическая постановка задачи. Пусть на отрезке в точке заданы значения функции :

Точки , будем называть узлами интерполяции.

Требуется построить функцию (аппроксимирующую) такую, что в узлах интерполяции функция будет совпадать со значением , т. е.

Используя построенную функцию , можно, например, найти приближенные значения функции в точках, отличных от узлов интерполяции. В сформулированной постановке задача может иметь бесконечное множество решений. Однозначной задача становится в том случае, если вместо произвольной функции искать полином[5] (многочлен):

степени не выше n, удовлетворяющий условиям:

, , , .

Действительно, этот многочлен имеет коэффициент , , каждый из которых может быть найден из условия совпадения значений полинома в узлах интерполирования с табличными значениями. Эти условия приводят к системе из уравнений с неизвестными:

Определитель этой системы является определителем Вандермонда:

.

Он отличен от нуля при всяких различных между собой значениях , и интерполирование функции по ее значениям в узлах с помощью многочлена всегда возможно и единственно.

Описанный прием в принципе можно было бы использовать для решения задачи интерполирования, однако на практике используют другие, более удобные и менее трудоемкие способы.

1.1.1. Конечные разности

Если значения функции в таблице заданы для равностоящих значений аргумента , где – шаг, то можно определить конечные разности функции .

Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Так, разность первого порядка в нулевом узле вычисляется по формуле: , в первом узле – по формуле , а для - го узла соответственно имеем .

Аналогично можно ввести конечную разность второго порядка:

Конечные разности -го порядка выражаются соотношением:

.

При вычислении конечных разностей удобно, например, при , пользоваться табл. 1.2:

Таблица 1.2

Справедливы следующие свойства конечных разностей: