Численные методы (стр. 8 )

Существуют приближенные способы нахождения решений дифференциального (5.1) уравнения, основанные на других идеях.

5.4.2. О существовании решения задачи Коши (5.1),(5.2); понятие численного решения

Для некоторых простейших видов уравнения (5.1) решение находится в аналитическом виде. К таким уравнениям относятся, например, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные уравнения и некоторые другие. Однако во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь оказывается невозможным и приходится строить приближенное численное решение.

Первый шаг на пути численного решения состоит в разбиении отрезка на конечное число частей введением узловых точек . Численным решением обыкновенного дифференциального уравнения называется решение, представленное в виде таблицы

			…
			…

Здесь () – приближенное значение искомой функции в узле , найденное некоторым численным методом.

Прежде чем начать строить численное решение, нужно решить принципиальный вопрос о его существовании. Следует помнить, что существование физического или экономического явления, описываемого данным дифференциальным уравнением, может подсказать, но не доказать существование решения.

О существовании и единственности решения задачи Коши (5.1), (5.2) говорит следующая теорема.

Пусть непрерывна в некоторой открытой области на плоскости и удовлетворяет в этой области условию Липшица по

где – некоторая положительная постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от области , а , – точки . Тогда задача Коши (5.1), (5.2) имеет единственное решение . При этом в качестве начальных значений может быть взята любая точка .

З а м е ч а н и е 5.1. Практическая рекомендация по проверке условия Липшица: если в области имеет ограниченную частную производную , то условие Липшица удовлетворяется.

5.4.3. Общая идея рассматриваемых ниже численных методов решения

задачи Коши (5.1),(5.2). Одношаговые методы

Идея методов состоит в том, что интегральная кривая (график точного решения) аппроксимируется ломаной с короткими звеньями. Абсциссы узловых точек , , ломаной задаем сами, выбирая шаг , в виде , , , , … . Ордината первого узла полагается равной , т. е. интегральная кривая и ломаная совпадают в начальной точке . Ординаты остальных точек вычисляются. Большинство численных методов решения рассматриваемой задачи Коши можно привести к виду , где – некоторая известная функция указанных аргументов, определяемая способом построения метода и зависящая от вида уравнения (5.1) и узловых точек . При , такие методы называют одношаговыми, а при или – многошаговыми.

В основе одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора. Если при разложении сохраняются первые члены ряда, включающие в степени до включительно, то говорят, что данный метод имеет порядок .

Чтобы вычислить ординату нового узла ломаной одношаговыми методами, требуется информация лишь в одной предыдущей точке. Это свойство называется «самостартованием». Свойства самостартования позволяют легко менять величину шага в процессе вычислений.

В некоторых одношаговых методах возникает необходимость вычисления значений функции не только в узловых точках, но и при промежуточных значениях.

5.4.4. Типы погрешностей

Поскольку решение задачи Коши находится приближенно, то главный вопрос при использовании любого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений . Существует три основных источника погрешностей:

1) погрешность округления, обусловленная ограничениями на представление чисел в памяти компьютера;

2) погрешность усечения (погрешность аппроксимации), обусловленная тем, что в разложении в ряд Тейлора, сохраняются только несколько первых членов, а остальные отбрасываются;

3) погрешность распространения, являющаяся результатом накопления погрешностей, появляющаяся на предыдущих этапах счета.

Указанные три источника являются причиной наблюдаемых ошибок двух видов:

1) локальной ошибки — суммы погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на одном шаге вычислений;

2) глобальной ошибки, которая является разностью между вычисленным и точным значением и определяет на каждом шаге вычислений суммарную погрешность, накопившуюся с момента начала вычислений.

5.4.5. Метод Эйлера

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Вывод расчетной формулы Эйлера состоит в следующем. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

При малом все члены, содержащие и более высокие степени, малы по сравнению с первыми двумя членами разложения. Отбрасывая малые члены, получим
.

Откуда, учитывая, что в силу (5.2), определения , и , (напомним, что ), , , будем иметь . Зная , и , находим :. Аналогично и т. д.

Таким образом, расчетная схема метода Эйлера имеет вид:

Глобальная погрешность метода Эйлера является погрешностью порядка , т. е. имеет место неравенство .

Уменьшение величины шага увеличивает точность расчета, но ненамного; можно приближенно считать, что погрешность пропорциональна величине шага , и следовательно, для увеличения точности в десять раз надо во столько же раз увеличить количество вычислений, получая при этом лишь один добавочный верный знак результата.

Достоинство метода Эйлера в его простоте, недостатком является быстрое нарастание погрешности расчета. Поэтому на практике им пользуются редко и в основном тогда, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке. Однако идеи, положенные в его основу являются исходными при разработке многих других методов.

5.4.6. Метод Рунге–Кутта

Этот метод является наиболее распространенным из одношаговых методов. Расчетная схема метода Рунге–Кутта четвертого порядка имеет вид:

Основывается метод Рунге–Кутта на том, что комбинация

удовлетворяет ряду Тейлора для всех членов его до включительно[30]. Хотя в вычислениях по методу Рунге–Кутта высшие производные не участвуют, однако то обстоятельство, что метод верен лишь для первых пяти членов ряда Тейлора (остальные же члены, если они не пренебрежимо малы, вносят в расчет ошибку), не позволяет получить достаточно большой точности при расчете в некоторых особых случаях.

Существует правило Рунге, по которому можно приближенно оценить погрешность метода на шаге. Оно состоит в следующем.

Пусть для некоторого значение вычислено методом Рунге–Кутта три раза с шагами , , . Обозначим в соответствии с этими шагами: , , .

Если выполняется условие ,

то разность между точным решением и приближенным можно оценить по правилу

.

На практике, применяя метод Рунге–Кутта, выбирают шаг следующим образом: проводят расчет на заданном участке с шагом , затем повторяют расчет на том же участке с шагом . Если результаты двух расчетов удовлетворительно согласуются, то для дальнейших вычислений можно принять больший шаг, в противном случае шаг уменьшают.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Правила выполнения и оформления контрольной работы

При выполнении контрольной работы следует придерживаться указанных ниже правил. Контрольная работа, выполненная без соблюдения этих правил, не засчитывается и возвращается студенту для доработки.

1. Студент при выполнении контрольной работы должен решить шесть заданий, номера задач в задании определяются двумя последними цифрами номера его зачетной книжки (смотри ниже правила выбора номеров задач индивидуальных заданий).

2. Индивидуальные задания следует выполнять на отдельных листах пастой (чернилами, тушью и т. п.) любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

3. На титульном листе (обложке) задания должны быть ясно написаны фамилия студента его инициалы, номер группы и номер зачетной книжки.

4. Решения задач следует располагать в порядке возрастания номеров заданий.

5. Перед решением каждого задания надо выписать полностью его условие, заменяя при этом общие данные конкретными числовыми значениями.

6. Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. Все вычисления производить с точностью до 0..

7. Контрольные работы, в которых решены не все задания, или выполненные не со своими данными, а также содержащие задачи из других вариантов, не засчитываются.

8. После получения прорецензированной контрольной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

9. Если рецензент предлагает переделать то или иное задание или дать более обстоятельное обоснование, то это следует выполнить в короткий срок.

10. В случае незачета контрольной работы или отсутствия указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна выполняться заново.

2. Правила выбора номеров задач индивидуальных заданий

Номера задач в каждом из шести индивидуальных заданий определяются по формуле

KL MOD 30 + 1.

Здесь KL две последние цифры номера зачетной книжки студента. Символ KL MOD 30 обозначает целый остаток от деления целого числа KL на целое число (модуль) 30. Например,

4 MOD 30 = 34 MOD 30 = 64 MOD 30 = 94 MOD 30 = 4;

29 MOD 30 = 59 MOD 30 = 89 MOD 30 = 29.

Например, студенту, две последние цифры зачетной книжке которого 49, необходимо решать в каждом задании задачи с номером:MOD 30 + 1 = 19 + 1 = 20).

3. Варианты контрольных работ

Задание 1

Варианты задач по теме «Интерполирование функций»

Дана таблица значений функции

и два значения аргумента, и , отличные от данных в таблице. Требуется с помощью полиномов Ньютона третьей степени вычислить приближенные значения функции в точках и , т. е. найти приближенные значения и .

В табл. 1, в зависимости от номера варианта, приведены значения функции и значения и аргумента.

Таблица 1

№ вар	Таблица значений функции f(x)
1		4.07	4.17	4.27	4.37	4.47	4.21	4.45
	8.556	64.715	71.526	79.043	87.353
2		2.13	2.23	2.33	2.43	2.53	2.20	2.38
	63.521	71.526	75.007	81.341	86.238
3		0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	0.62	0.88
	0.5646	0.6442	0.7174	0.7833	0.8415
4		0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.64	0.85
	1.5641	0.6331	0.7228	0.7822	0.9216
5		3.6	3.65	3.70	3.75	3.80	3.63	3.72
	36.598	38.475	40.447	42.521	44.701
6		2.6	2.7	2.8	2.9	3.0	2.68	2.96
	25.892	29.332	32.498	36.591	41.332
7		1.5	1.52	1.54	1.56	1.58	1.53	1.567
	0.5118	0.5006	0.4891	0.4781	0.4668
8		1.41	1.43	1.45	1.47	1.49	1.421	1.459
	0.6279	0.5028	0.4695	0.4121	0.2925
9		1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	1.07	1.38
	0.5652	0.6375	0.7147	0.7973	0.8861
10		1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	1.57	1.88
	0.8920	0.7900	0.6725	0.6132	0.5942
11		1.05	1.15	1.25	1.35	1.45	1.09	1.32
	2.8577	3.1582	3.4903	3.8574	0.2631
12		1.15	1.25	1.31	1.45	1.55	1.24	1.43
	3.6578	2.9715	2.4215	2.0029	1.8440
13		1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.22	1.48
	0.8912	0.9320	0.9636	0.9854	0.8975
14		0.09	0.11	0.13	0.15	0.17	0.117	0.16
	1.2561	1.4278	1.5171	1.8513	1.9628
15		1.30	1.39	1.44	1.49	1.54	1.37	1.47
	3.6693	3.8574	4.0552	5.2631	4.8170
16		1.23	1.25	1.27	1.29	1.31	1.235	1.278
	0.6589	0.6242	0.5342	0.6753	0.5314
17		4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.143	4.485
	1.2432	1.1315	1.2342	1.1432	1.1542
18		3.3	3.33	3.36	3.39	3.42	3.32	3.40
	0.5649	0.4362	0.4532	0.5532	0.4186
19		1.3	1.5	1.7	1.9	2.1	1.45	2.11
	13.453	12.275	11.675	10.243	11.463
20		1.14	1.24	1.34	1.44	1.54	1.20	1.50
	1.1216	1.1116	1.3186	1.1254	1.2453
21		1.34	1.39	1.44	1.49	1.54	1.37	1.47
	1.6279	1.5028	1.4695	1.4121	1.3925
22		1.15	1.25	1.35	1.45	1.55	1.19	1.51
	2.5641	2.6331	2.7228	2.7827	2.9226
23		1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	1.03	1.38
	2.7183	3.0042	3.3201	3.6693	4.0552
24		1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.46	1.66
	1.2761	1.5278	1.6171	1.9513	2.4628
25		1.05	1.15	1.25	1.35	1.45	1.14	1.40
	0.5217	0.5001	0.4872	0.4721	0.4568
26		1.25	1.33	1.45	1.56	1.61	1.21	1.59
	0.6314	0.5916	0.5466	0.4945	0.5015
27		1.01	1.06	1.11	1.16	1.21	1.02	1.19
	1.2618	1.2764	1.2912	1.3061	1.3213
28		1.26	1.31	1.36	1.41	1.46	1.29	1.44
	1.3366	1.3520	1.3688	1.3835	1.3995
29		0.35	0.41	0.47	0.51	0.56	0.38	0.55
	2.7395	2.9008	1.9686	1.7877	1.5950
30		1.52	1.53	1.54	1.55	1.56	1.525	1.558
	19.670	20.065	20.477	20.477	21.354
№ вар	Таблица значений функции f(x)

Задание 2

Варианты задач по теме «Эмпирические формулы»

Пусть результаты анализа экономических данных представлены в виде таблицы дискретных значений и